Пуассон интегралы Дирихле есебінің Лаплас басқаруының шар үшін шешімін табуғы көмектеседі.
Шар ішіндегі u (r , φ) гармоникалық функциясы үшін функциясының u 0 шекарасында мына шарт орындалсын: u (R , φ) = u 0 (φ), оның үстіне функцияға келесі тегістік класы ретінде тиесілі:
u
(
r
,
φ
)
∈
C
2
(
D
)
∩
C
(
D
¯
)
,
u
0
(
φ
)
∈
C
1
(
∂
D
)
{\displaystyle u(r,\varphi )\in C^{2}(D)\cap C({\overline {D}}),\ u_{0}(\varphi )\in C^{1}(\partial D)}
D — D шары шекарасы, ал
D
¯
{\displaystyle {\overline {D}}}
u
(
r
,
φ
)
=
R
2
−
r
2
ω
n
R
∫
∂
D
u
0
(
ψ
)
|
r
−
ψ
|
n
d
S
(
ψ
)
,
r
∈
[
0
;
R
)
,
{\displaystyle u(r,\varphi )={\frac {R^{2}-r^{2}}{\omega _{n}R}}\int \limits _{\partial D}{\frac {u_{0}(\psi )}{|r-\psi |^{n}}}\,dS(\psi ),\ r\in [0;R),}
мұндағы ωn n — кеңістік өлшемі.
Екі өлшемді кездегі шешуі
өңдеу
Функция
u
(
r
,
φ
)
=
a
0
+
∑
n
=
1
∞
(
r
R
)
n
(
a
n
cos
n
φ
+
a
~
n
sin
n
φ
)
{\displaystyle u(r,\varphi )=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}(a_{n}\cos n\varphi +{\tilde {a}}_{n}\sin n\varphi )}
Дирихле есебінің дөңгелектегі Лаплас теңдеуі үшін шешімі екені белгілі. Фурье коэффициенттерін пайдалана отырып осыны түрлендірейік:
u
(
r
,
φ
)
=
1
2
π
∫
0
2
π
u
0
(
ψ
)
d
ψ
+
1
π
∑
n
=
1
∞
(
r
R
)
n
(
cos
n
φ
∫
0
2
π
u
0
(
ψ
)
cos
n
ψ
d
ψ
+
sin
n
φ
∫
0
2
π
u
0
(
ψ
)
sin
(
n
ψ
)
d
ψ
)
=
{\displaystyle u(r,\varphi )={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )d\psi +{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}\left(\cos n\varphi \int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )\cos n\psi d\psi +\sin n\varphi \int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )\sin(n\psi )d\psi \right)=}
=
1
π
∫
0
2
π
u
0
(
ψ
)
(
∑
n
=
1
∞
(
r
R
)
n
(
cos
n
φ
cos
n
ψ
+
sin
n
φ
sin
n
ψ
)
)
d
ψ
+
1
2
π
∫
0
2
π
u
0
(
ψ
)
d
ψ
=
{\displaystyle ={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}(\cos n\varphi \cos n\psi +\sin n\varphi \sin n\psi )\right)d\psi +{\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )d\psi =}
=
1
π
∫
0
2
π
u
0
(
ψ
)
(
1
2
+
∑
n
=
1
∞
(
r
R
)
n
cos
n
(
φ
−
ψ
)
)
d
ψ
.
{\displaystyle ={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )\left({\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}\cos n(\varphi -\psi )\right)d\psi .}
r <R болғанда есептеуге болады:
1
2
+
∑
n
=
1
∞
(
r
R
)
n
cos
n
(
φ
−
ψ
)
=
1
2
+
Re
∑
n
=
1
∞
(
r
R
e
i
(
φ
−
ψ
)
)
n
=
1
2
+
Re
r
R
e
i
(
φ
−
ψ
)
1
−
r
R
e
i
(
φ
−
ψ
)
=
{\displaystyle {\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}\cos n(\varphi -\psi )={\frac {1}{2}}+\operatorname {Re} \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}e^{i(\varphi -\psi )}\right)^{n}={\frac {1}{2}}+\operatorname {Re} {\frac {{\frac {r}{R}}e^{i(\varphi -\psi )}}{1-{\frac {r}{R}}e^{i(\varphi -\psi )}}}=}
=
1
2
+
Re
r
R
e
i
(
φ
−
ψ
)
(
1
−
r
R
e
−
i
(
φ
−
ψ
)
)
1
−
2
r
R
cos
(
φ
−
ψ
)
+
(
r
R
)
2
=
R
2
−
r
2
2
(
R
2
+
r
2
−
2
R
r
cos
(
φ
−
ψ
)
)
.
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}+\operatorname {Re} {\frac {{\frac {r}{R}}e^{i(\varphi -\psi )}\left(1-{\frac {r}{R}}e^{-i(\varphi -\psi )}\right)}{1-2{\frac {r}{R}}\cos(\varphi -\psi )+\left({\frac {r}{R}}\right)^{2}}}={\frac {R^{2}-r^{2}}{2\left(R^{2}+r^{2}-2Rr\cos(\varphi -\psi )\right)}}.}
u
(
r
,
φ
)
=
R
2
−
r
2
2
π
∫
0
2
π
u
0
(
ψ
)
d
ψ
R
2
+
r
2
−
2
R
r
cos
(
φ
−
ψ
)
,
r
∈
[
0
,
R
)
.
{\displaystyle u(r,\varphi )={\frac {R^{2}-r^{2}}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {u_{0}(\psi )d\psi }{R^{2}+r^{2}-2Rr\cos(\varphi -\psi )}},\ r\in [0,R).}
В.М. Уроев. Уравнения математической физики — Мәскеу: ИФ Яуза, 1998. — ISBN 5-88923-026-3 .
