Пифагор: Нұсқалар арасындағы айырмашылық
Content deleted Content added
ш →Пифагор сандары: clean up, replaced: “Қазақ Энциклопедиясы”, VII-том → «Қазақстан»: Ұлттық энцклопедия / Бас редактор Ә. Нысанбае using AWB |
|||
24-жол:
==Теореманың тарихы==
Теоременың тарихы [[ежелгі
{{Дәйексөз|[[Тік бұрышты
Бұл Пифагор теоремасы деп аталатын ежелден белгілі геометриялық теорема. Гректің ұлы математигі , әрі философы Пифагор Самосский осыдан 2,5 мың жыл бұрын өмір сүрген. Пифагор Шығыс елдеріне, Египетке және Вавилонға көп саяхат жасаған.Оңтүстік Италияның грек колонияларының бірінде ежелгі Грецияның ғылыми және саяси өмірінде үлкен роль атқарған белгілі «Пифагор мектебінің» негізін салған. Бұл белгілі геометриялық теореманың дәлелдеуін Пифагор практикада қолдана білген.
Бірақ, бұл теореманы Пифагорға дейін 1500 жыл бұрын ежелгі египеттіктер қабырғалары 3,4 және 5 тең болатын үшбұрыш тікбұрышты болатынын білген және бұл қасиетті жер учаскелерін, құрылыс тұрғызу үшін қолданған. Сонымен қатар мың жылдықтар бұрын Египеттегі, Вавилондағы, Қытайдағы үлкен храмдар салу үшін де қолданған. Пифагордан 600 жыл бұрын қытайдың математика-астрономиялық «Чжоу-би» шығармасында тікбұрышты үшбұрышқа қатысты басқа да теоремалар арасында Пифагор теоремасы да бар. Бұдан да ертерек теорема үндістерге де белгілі болған. ▼
Теореманың қарапайым дәлелдеуі▼
Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасына салынған квадрат катеттеріне салынған квадраттардың қосындысымен тең шамалы. ▼
Теореманың дұрыстығына көз жеткізу үшін тең бүйірлі тікбұрышты үшбұрыштар мозаикасына қарау жеткілікті. Мысалы, ΔABC үшін : АС гипотенузасына салынған квадрат 4 үшбұрыштан құралған, ал катеттерге салынған квадраттардың әрқайсысы екі үшбұрыштан тұрады. Теорема дәлелденді.▼
Теореманы алгебралық әдіспен дәлелдеу▼
Т - катеттері а, b және гипотенузасы с болатын тікбұрышты үшбұрыш болсын. ( а-сур.). с2=а2+b2 екенін дәлелдеу керек.▼
Қабырғалары а+b -ға тең Q квадратын саламыз(б-сур.). Q квалратының қабырғаларынан А, В, С, D нүктелерін, пайда болған АВ, ВС, CD, DA кесінділері катеттері а және b –ға тең Т1, Т2, Т3, Т4 тікбұрышты үшбұрыштар құратындай етіп саламыз. ABCD тіктөртбұрышын Р деп белгілейміз. Енді Р қабырғалары с-ға тең квадрат екенін көрсетуіміз қажет.▼
Барлық Т1, Т2, Т3, Т4 тік бұрышты үшбұрыштары Т тік бұрышты үшбұрышына тең (екі катеті бойынша). Сондықтан олардың гипотенузалары Т тікбұрышты үшбұрышының гипотенузасына, яғни с кесіндісіне тең. Енді бұл төртбұрыштың бұрыштары тік екенін дәлелдейміз. ▼
және - Т үшбұрышының сүйір бұрыштары. Онда + = 90° екендігі белгілі. Р төртбұрышының А төбесіндегі бұрышы , бұрыштарымен қоса жазыңқы бұрышты құрайды. Сондықтан + + =180°. + = 90° болғандықтан =90°. Р төртбұрышының басқа бұрыштарының да тік екендігі дәл осылай дәлелденеді. Осыдан, Р төртбұрышы қабырғасы с болатын квадрат екендігі шығады. ▼
Қабырғасы а+b –ға тең Q квадраты қабырғасы с-ға тең Р квадраты мен Т үшбұрышына тең төрт үшбұрыштан тұрады. Сондықтан олардың аудандары үшін S(Q)=S(P)+4S(T)орындалады. ▼
S(Q)=(a+b)2; S(P)=c2 және S(T)=½a*b өрнектерін S(Q)=S(P)+4S(T) теңдігіне қою арқылы (a + b)2 = c2 + 4*½a*b теңдігін аламыз. (a+b)2=a2+b2+2*a*bболғандықтан (a+b)2=c 2+4*½a*b теңдігін мына түрде жазуға болады: a2+b2+2*a*b=c2 +2*a*b.▼
a2+b2+2*a*b=c2+2*a*b теңдігінен с2=а2+b2 тең екендігі шығады.▼
▲
Фигуралардың тең шамалылығын пайдала отырып дәлелдеу▼
▲=== Теореманың қарапайым дәлелдеуі ===
▲Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасына салынған квадрат катеттеріне салынған квадраттардың қосындысымен тең шамалы. Теореманың қарапайым дәлелдеуі тең бүйірлі үшбұрыш жағдайында қарастырылады. Теореманың өзі де осыдан басталған.
▲
▲=== Теореманы алгебралық әдіспен дәлелдеу ===
▲
▲
▲Барлық ''Т1, Т2, Т3, Т4'' тік бұрышты үшбұрыштары ''Т'' тік бұрышты үшбұрышына тең (екі катеті бойынша). Сондықтан олардың гипотенузалары ''Т'' тікбұрышты үшбұрышының гипотенузасына, яғни с кесіндісіне тең. Енді бұл төртбұрыштың бұрыштары тік екенін дәлелдейміз.
▲
▲:Қабырғасы ''а+b'' –ға тең ''Q'' квадраты қабырғасы ''с''-ға тең ''Р'' квадраты мен ''Т'' үшбұрышына тең төрт үшбұрыштан тұрады. Сондықтан олардың аудандары үшін ''S(Q)=S(P)+4S(T)''орындалады.
:''S(Q)=(a+b)2'';
:''S(P)=c2'' және
▲
:''(a+b)2=a2+b2+2*a*b'' болғандықтан ''(a+b)2=c 2+4*½a*b'' теңдігін мына түрде жазуға болады: ''a2+b2+2*a*b=c2 +2*a*b.''
▲=== Фигуралардың тең шамалылығын пайдала отырып дәлелдеу ===
Берілген тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасына салынған квадрат катеттерге салынған квадраттар құрастырылған фигуралардан тұратынын дәлелдеуді қарастыруға болады.
2 суретте екі тең квадраттар бейнеленген. Әрбір квадраттың қабырғаларының ұзындығы а + b-ға тең. Квадраттардың әрбіреуі квадраттар мен тікбұрышты үшбұрыштардан тұратын бөліктерге бөлінген.Егер квадрат ауданынан катеттері а және b-ға тең тік бұрышты үшбұрыштың 4 еселенген ауданын алып тастасақ, онда тең шамалы аудандар қалады, яғни c2 = a2 + b2 . Бұл дәлелдеуді ұсынған ежелгі үндістер дәлелдеуді жазбаған, тек сызбаны «қара!» деген сөзбен түсіндірген.
Бұл дәлелдеулер катеттерге салынған квадраттар жіктелген фигуралардан гипотенузаға салынған квадратты құрастыруға болатынына негізделген.
Бұл жерде: ABC –тікбұрышы С болатын тікбұрышты үшбұрыш. C MN; CK MN; PO||MN; EF||MN.
* Квадраттарды тең бөліктерге жіктеу әдісі арқылы тағы бір дәлелдеу «қалқаншалы дөңгелек» деп аталады және 6-суретте көрсетілген. Мұнда: ABC– тікбұрышы C болатын тікбұрышты үшбұрыш; O – үлкен катетке салынған квадраттың центрі, О нүктесі арқылы өтетін пунктирлі түзулер гипотенузаға перпендикуляр немесе параллель. Бұл әдістің негізі тең шамалы фигуралар пайда болу үшін катеттерге салынған квадраттарға және гипотенузаға салынған квадратқа тең фигуралар салынады.
KLOA = ACPF = ACED = a2;
LGBO = CBMP = CBNQ = b2;
AKGB = AKLO + LGBO = c2;
бұдан c2 = a2 + b2.
=== Алгебралық әдіспен дәлелдеу. ===
* Ұлы үнді математигі Бхаскаридің дәлелдеуі.
b2 = cb1; (1)
a2 = ca1. (2) шығады.
(1) және (2) теңдіктерін мүшелеп қоссақ, a2 + b2 = cb1 + ca1 = c(b1 + a1) = c2 теңдігін аламыз.
Мёльманн дәлелдеуі-2 әдісі
Тікбұрышты үшбұрыштың ауданы :S=½*a*b немесе S=½(p*r) тең (кез-келген үшбұрыш үшін);
:p - үшбұрыштың жарты периметрі ; r – Іштей сызылған шеңбердің радиусы.
:r = ½*(a + b - c) – кез-келген үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер радиусы.
:½*a*b = ½*p*r = ½(a + b + c)*½(a + b - c);
:a*b = (a + b + c)*½(a + b - c);
:a + b=x;
:a*b = ½(x + c)*(x - c)*a*b = ½(x2-c2)
:a*b = ½(a2 + 2*a*b + b2 - c2)
:a2 + b2 - c2 = 0, сондықтан
:a2 + b2 = c2
Екеуін теңестіре келе, c2=a2+b2 екендігі шығады.
* Бұрыштың косинусын пайдалана отырып дәлелдеу.
* Косинустар теоремасының анықтамасы бойынша (Тікбұрышты үшбұрышың сүйір бұрышының косинусы деп іргелес жатқан катеттің гипотенузаға қатынасын айтамыз.) соsА=AD/AC=AC/AB. Бұдан AB*AD=AC2. Осыған ұқсас соsВ=BD/BC=BC/AB. Бұдан шығатыны AB*BD=ВС2. Шыққан теңдіктерден AD+DB=AB екенін ескере отырып, АС2+ВС2=АВ(AD + DB)=АВ2 теңдігін аламыз. Теорема дәлелденді.
* Евклид дәлелдеуі
Берілгені:ΔАВС – тікбұрышты үшбұрыш, AJ - гипотенузаға түсірілген биіктік, BCED – гипотенузаға салынған квадрат, ABFH және ACKJ - катеттерге салынған квадраттар.
Дәлелдеу керек: Гипотенузаның квадраты катеттерінің квадраттарының қосындысына тең.(Пифагор теоремасы).
Дәлелдеуі:
Дәлелдеулердің бірнеше түрлерін қарастыра келе, мына суреттер бойынша қосымша салулар арқылы дәлелдеулер келтірілген. Мұнда пунктирлі сызықтар қосымша салуларды көрсетеді.
Line 114 ⟶ 134:
(3) және (4) теңдіктерін салыстыра отырып , c12 = c2, немесе c1 = c екендігін аламыз. Осыдан берілген және салынған үшбұрыштар үш қабырғалары сәйкесінше теңболғандықтан үшбұрыштардың теңдігі шығады. Пифагор теоремасының дәлелдемелерін көптеп келтіруге болады.
Пифагор теоремасының қолданылулары▼
Пифагор теоремасы қазіргі өмірде құрылыста, астрономияда, мобильді байланыста кеңінен қолданылады. Суретте осы теореманы пайдалана отырып, готикалық стильде салынған терезенің мысалы келтірілген.▼
▲== Пифагор теоремасының қолданылулары ==
Найзағай түсірмеуге арналған құрылғыны салу үшін де осы теоремаға сүйенеді. Яғни, Пифагор теоремасы бойынша h2≥ a2+b2, яғни h≥(a2+b2)1/2.▼
▲
▲
:h2≥ a2+b2, яғни h≥(a2+b2)1/2.
Осы сияқты өмірде Пифагор теоремасын қолданатындығына көптеген мысалдар келтіруге болады.
|