Геометрия: Нұсқалар арасындағы айырмашылық

'''Геометрия'''(грек. geometrіa, ge — Жер және metro — өлшеймін) — математиканың кеңістіктік пішіндер (формалар) мен қатынастарды, сондай-ақ, оларға ұқсас басқа да пішіндер мен қатынастарды зерттейтін саласы. [[фигура|Фигуралар]] кеңістіктік пішіндер болып есептеледі. Геометрия тұрғысынан сызық — “сым” емес, [[шар]] — “домалақ дене” емес, олардың барлығы да — кеңістіктік пішіндер. Ал кеңістіктік қатынастар — [[фигура|фигуралардың]] мөлш. мен орналасуын анықтайды. Мыс.Мысалы, центрлері ортақ, радиустары 3 см және 5 см шеңберлер қиылыспайды, “біріншісі екіншісінің ішінде жатады” дегенде — шеңберлердің мөлш. мен орналасуы жөнінде айтылып тұр. Мұнда бірінші шеңбер — кішісі, екіншісі — үлкені, біріншісі екіншісінің ішінде орналасқан. Осыған орай кеңістіктік қатынастар “үлкен”, “кіші”, “ішінде”, “сыртында” сөздері арқылы анықталған. “Тең”, “параллель”, т.б.тағыда басқа сөздер де кеңістіктік қатынастарды сипаттайды.<ref name="source1">Балалар энциклопедиясы, III-том</ref>

“Геометрия” атауы дәл аударғанда “[[жер өлшеу]]” болады. Бұл ғылымның алғашқы нұсқалары Ежелгі Мысыр ([[Египет]]) елінде шыққан. “[[Жер]] учаскелерін өлшеу нәтижесінде — деп жазған б.з.б.біздің заманымыздан бұрын 4 ғ-дағасырда өмір сүрген грек математигі Евдем, — мысырлықтар Геометрия ғылымын шығарды”. [[Жер]] өлшеу өнерін мысырлықтардан үйренген ежелгі гректер оны алғашқы кезде өз тілінде “Геометрия” деп атаған. Осы сөз кейін көптеген халықтардың тіліне еніп, ғыл. термин болып кеткен. Геометрия заңдылықтарын жер учаскелерін өлшеуде қолдануға әбден болады, бірақ Г-ныңГеометрияның негізгі арнасы ол емес. Г-даГеометрияда қолданылатын мәселелер сан алуан. Сондықтан Геометрия ерте заманның өзінде-ақ кеңістіктік пішіндер мен қатынастар жөніндегі ғылым ретінде қалыптасқан. [[Жер]] өлшеу ғылымын, соңғы мағынадағы Г-данГеометриядан айырып айту үшін, Аристотель геодезия деп атаған. Г-ныГеометрияны тек жер өлшеу жұмыстары ғана тудырған жоқ. Бұл бағытта ғыл.ғылыми-практикалық деректердің молайып, қорлануына [[үй]], [[көпір]], [[пирамида]], [[әскери бекіністер]], т.б.тағыда басқа құрылыстар салу, арналар қазу, ыдыстардың сыйымдылығын өлшеу, құрылыстарға қажетті материалдардың шамасын алдын ала есептеу елеулі әсер етті. Геометрия ұғымдары дүниеде кездесетін заттардың дербес физ.физикалық қасиеттерін еске алмай, абстракциялап (яғни, дерексіздендіріп), олардың тек мөлшері мен өзара орналасуын ғана қарастыру нәтижесінде пайда болған. Қалыпқа салынып соғылған кірпіштердің, құрылысқа арналып шабылған қырлы тастардың, шеберлердің кесіп, сүргілеп тегістеген бұйымдарының сыртқы тұрпаты — пішіні бірдей болады. Мұндай пішін төрт бұрышты призма деп аталады. Үш бұрышты, бес бұрышты, т.б.тағыда басқа призмалар болады. Г-даГеометрияда призманың қандай материалдан жасалғандығы есепке алынбайды, оның тек мөлшері мен орналасуы ғана зерттеледі. Цилиндр, конус, шар, т.б.Геометрия ұғымдар да осылай қалыптасқан. Сонымен геометриялық денелер — темп-расы, массасы, жасалған материалы мен жеке қасиеттері қарастырылмайтын физ.физыкалық денелер денелер.

Дененің шекарасы — бет. Ол денені қаптап, қоршап, шектеп, кеңістіктен бөліп тұрады. Бет шектеусіз жұқа болып есептеледі. Жіңішке жіп, бір тал қыл, сәуле, сым, т.б.тағыда басқа негізінде шектеусіз жіңішке сызық ұғымы шыққан. Г-лықГеометриялық денелерді ойша топшылап, шектеусіз кішірейте беруге болады. Осыдан нүкте ұғымы шығады. Нүкте дененің әбден кішірейіп, тоқтаған шектік жағдайы деп есептеледі. Геометрия тұрғысынан алғанда нүктені одан әрі кішірейтуге болмайды. Г-лықГеометриялық денелердің, беттердің, сызықтардың және нүктелердің кез келген жиыны фигура деп аталады. Айтылып отырған негізгі ұғымдар — нүкте, сызық, бет, дене дүниедегі заттардан (яғни, материядан) алынған. Бірақ материяның физ. қасиеттерінен абстракцияланған. Мыс.Мысалы, призма жөніндегі теоремаларды ағаштан, тастан, металдан жасалған призмалардың бәріне де және әрдайым қолдана беруге болады. Геометрия алғашқы кезде фигуралардың мөлшерлерін, өзара орналасу тәртібін, бір түрден екінші түрге көшу жолдарын зерттейтін ғылым болды. Онда [[фигурала|фигуралардың]] түрлендірілуі берілген фигура мен кейін пайда болған фигураның арасындағы белгілі бір қатынастар ретінде түсіндірілді. Мұндай түсінік осы күнгі Г-даГеометрияда да бар. Алайда қазіргі Геометриябайырғы түсініктер шебінен ұзап шығып кетті. Соңғы ғасырларда Г-ныңГеометрияның үйреншікті ұғымдары мен қағидаларын талдау, жалпылау, жартылай өзгерту және одан әрі абстракциялау нәтижесінде математиканың бірталай жемісті теориялары шықты. Г-ныңГеометрияның жаңа салаларының көпшілігі ертеде қалыптасқан дәстүрлі салаларына мүлдем ұқсамайды. Мыс.Мысалы, [[Риман]] кеңістігіндегі “ара қашықтық”, [[Гильберт]] кеңістігіндегі “призма” ұғымдарын, жалпы түрде алғанда, ешқандай сурет, модель бойынша сипаттауға болмайды. Оларды дүниеде кездесетін нақты нәрселердің пішіндері мен қатынастары арқылы түсіндіру өте қиын. Сөйтсе де, Г-ныңГеометрияның байырғы салалары жаңа салаларының қарапайым дербес көріністері болып табылады. Сөз болып отырған жаңа теориялардың қайшылықсыздығы мұқият дәлелденген және олар күмәнсіз. Соңғы салалар да, тарихи жағынан Геометрия шаңырағының астында туғандықтан және олардың заңдары бұрынғы Г-ныңГеометрияның заңдарына сырттай ұқсас болғандықтан, Г-ғаГеометрияға жатқызылады. Сөйтіп, Г-ныңГеометрияның өрісі мүлдем кеңейіп кетті. Оның жоғарыда келтірілген анықтамасына “сондай-ақ, оларға ұқсас басқа да пішіндер мен қатынастарды зерттейтін” деген сөздер сондықтан қосылған. Осылай кең мағынада түсінген жағдайда ғана Геометрия математиканың көптеген саласымен астасып жатады.

Геометрия — ерте замандарда шыққан ғылымдардың бірі, оның тарихы да әріректен басталады. Сапалық өзгерістерге ұшырап, жаңа сатыларға көтерілу дәрежесіне қарай Г-ныңГеометрияның даму жолын 4 дәуірге бөлуге болады.

Бірінші дәуір өте ерте заман мен б.з.б.біздің заманымыздан бұрын 5 ғ.ғасыр аралығын қамтиды. Бұл дәуірдің басталған уақытын кесіп айтуға болмайды. Қарапайым Г-лықГеометриялық ұғымдар әр кезде және әр жерде шыққан. Алғашқы мәліметтер Ежелгі Шығыс елдерінде — Мысыр мен Вавилонда, Грекияда, кейінірек Үндістанда пайда болған. Ертедегі мысырлықтар Нілдің жағасындағы құнарлы топыраққа бидай егіп күнелткен. Ніл жыл сайын тасып, жағадағы учаскелердің белгіленген шекараларын бұзып кетіп отырған. Ал шаруалар су қайтқан сайын өз жерлерін өлшеп барып, айырып алатын болған. Учаскелердің ұзындығын, енін, жиек сызығын үнемі өлшеу нәтижесінде қарапайым ережелер пайда болған. Нілдің таситын және қайтатын уақыттарын бақылау нәтижесінде Мысыр күнтізбесі шыққан. Уақыт есебі жұлдыздардың өзара және көкжиекпен жасайтын бұрыштарын (бұл бұрыштардың төбелері бақылаушы тұрған жерде болады) өлшеуді қажет етеді. Мысыр патшалары — перғауындар (фараондар) өздеріне ескерткіш және зират ретінде, тірі күндерінде, зәулім құрылыстар — пирамидалар салдырған. Пирамида салу жұмыстары өлшеу әдістерін бірсыдырғы жүйеге келтіре отырып, кеңістіктік Геометрия мен механиканың дамуына ықпал етті. Бізге жеткен матем. папирустар Ежелгі Мысыр математикасының бертінгі ғасырларына жатады. Папирустардағы аудан мен көлем жөніндегі есептердің көпшілігі дұрыс шығарылған. Бірақ ережелердің ешқайсысы дәлелденбеген. Үшбұрыштың, трапецияның, дөңгелектің ауданы жуық түрде есептелген, табандары квадрат болып келген қиық пирамиданың көлемі дәл табылған. Ежелгі Вавилон Г-сыныңГеометриясының деректері балшықтан иленіп жасалған тақташаларға жазылып қалған. Оларға қарағанда ұзындық, аудан, көлем жөніндегі мысырлықтар білген есептерді вавилондықтар да шығара білген. Вавилондықтар кейбір дұрыс көпбұрыштарды, қиық конусты, т.б.тағыда басқа қарастырған, шеңберді 360 градусқа бөлуді шығарған, есептерді теңдеулерге келтіруді жақсы білген, Г-ныГеометрияны астрономияға қолдана бастаған. Вавилондықтарға Пифагор теоремасы да белгілі болған. Кейбір Г-лықГеометриялық деректер Ежелгі Үндістан мен Қытайда да кездеседі. Б.з.б.біздің заманымыздан бүрын 7—6 ғ-лардағасырларда гректердің арасынан ғылыммен арнайы шұғылданатын, табиғат құбылыстарын зерттейтін оқымыстылар шықты. Олардың кейбіреуі білім іздеп, ел кезіп, көрші халықтардың тұрмысымен, ғыл.-мәдени табыстарымен танысып, саяхаттар жасады, Мысыр мен Вавилонға барып жүрді. Өндіргіш күштердің дамуы, нақты фактілердің молаюы, оқымыстылардың ой өрісінің өсуі матем. сөйлемдерді тексеру және дәлелдеу әдістерін тудырды. Мыс.Мысалы, радиусы r-ге тең дөңгелектің ауданын мысырлықтар 256 r2 : 81 деп, вавилондықтар 3 r2 деп есептеген. Осылардың дұрысын таңдап алу үшін тиісті сөйлемді — теореманы дәлелдеу керек болды. Бірталай теоремаларды Фалес, Пифагор, Гиппократ, Демокрит дәлелдеді. Дәлел-демелердің дұрыс қалыптасуына философия ғылымының да ықпалы болды. Сөйтіп, б.з.б.біздің заманымыздан бұрын 5 ғ-дағасырда Геометрия өзіне тән ұғымдары мен әдістері бар жүйелі ғылым дәрежесіне көтерілді. Осы дәуірдің аяғында Гиппократ, Феодесий, т.б.тағыда басқа “Геометрия негіздері” деген атпен көлемді кітаптар жазды. Екінші дәуірдің басы болған Евклид еңбектері шыққанда бұл кітаптар кейін ысырылып, ақыры мүлде ескерусіз қалып қойды.

Екінші дәуір — Ев-клидтенЕвклидтен Р. Декартқа дейінгі кезең; ол 2 мың жылға созылды. Евклид Г-ныңГеометрияның өзіне дейінгі табыстарын жинап, талдап, қорытып, бір ізге түсіріп, б.з.б.біздің заманымыздан бұрын 300 ж.жылы шамасында “Негіздер” атты, 13 бөлімнен құралған шығарма жазды. Онда Геометрия аксиомалар мен қағидалар (постулаттар) негізінде логикалық жолмен құрылған жүйелі дедуктивтік ғылым (кеңістіктік пішіндер мен қатынастар туралы ғы-лым) дәрежесінде баяндалды. “Негіздерде” 121 анықтама, 5 қағида, 9 аксиома, 373 теорема келтірілген. Осы күнгі элементар Геометрия, жалпы алғанда, Евклид қалыбынан шыққан. Г-ғаГеометрияға Архимед пен Аполлоний де ірі үлес қосты. Бұлардың біріншісі — дөңгелектің, парабола сегментінің ауданы, пирамиданың, конустың және шардың көлемі жөніндегі теоремаларды, т.б.тағыда басқа тұжырымдады, ал екіншісі — конустық қималарды мұқият зерттеп, құнды ғыл. мұра қалдырды. Астрономиямен шұғылданған — Гиппарх, К. Птолемей, Менелай, т.б.тағыда басқа сфералық Геометрия мен тригонометрияны қалыптастырды. Евклид, Архимед, Аполлоний заманы грек Г-сыныңгеометриясының “алтын ғасыры” болған еді. Одан кейін Грекияның ғылымы мен мәдениеті құлдырай бастады. Орта ғасырларда элементар Геометрия Үндістанда, Орта Азияда, араб елдерінде дамыды. Орта Азия мен Қазақстан оқымыстыларынан Г-менГеометриямен шұғылданғандар: Ғаббас әл-Жауїари, Әбу Наср әл-Фараби, Әбу Райхан әл-Бируни, Ғийас әд-Дин Жәмшид әл-Кәши, т.б.тағыда басқа болды. Екінші дәуірдің аяғында Геометрия Бат.Батыс Еуропада жандана бастады. Бұл кезде И. Кеплер мен итальян математигі Б. Кавальеридің (1598 — 1647) еңбектері тарихи белес болды.

Үшінші дәуір Р. Декарттан Н.И. Лобачевскийге дейінгі 200 жылды қамтиды. Бұл дәуірде аналит., проективтік және дифференциалдық Г-ларГеометриялар пайда болды. Аналитикалық геометрия координаттар әдісіне сүйенеді. Онда нүктенің орны сандар арқылы, ал сызықтар мен беттер теңдеулер арқылы анықталады. Г-ныңГеометрияның бұл саласының іргесін Декарт пен француз математигі П. Ферма (1601 — 65) қалады, ал оны француз математигі А. Клеро (1713 — 65) мен Л. Эйлер кемелдендірді. Фигураларды проекциялар арқылы түрлендіру жолдарын зерттеу нәтижесінде проективтік Геометрия қалыптасты. Бұл бағытта француз математигі Ж. Дезарг (1593 — 1662), Б. Паскаль, француз математигі Ж. Понселе (1788 — 1867), неміс математигі К. Штаудт (1798 — 1867), швейцар математигі Я. Штейнер (1796 — 1863) жемісті еңбек етті. Кеңістіктегі фигураны жазықтықта кескіндеу жолдарын талдап, француз математигі Г. Монж (1746 — 1811) сызба Г-ныГеометрияны жасады. Сызба Геометрия проективтік Геометрияның тарауы болып саналады. Эйлер мен Монж дифференциалдық есептеу әдістерін Г-ғаГеометрияға қолдана бастаған болатын. К. Гаусс бұл мәселені одан әрі дамытып, классикалық дифференциалдық геометрияны қалыптастырды. Дифференциалдық Геометрия сызықтар мен беттердің қасиеттерін дифференциалдар арқылы зерттейді.

Төртінші дәуір Лобачевский еңбектерінен басталады. Өз зерттеулерінде Лобачевский үш принципке сүйенді. Олар: Евклид Г-сыГеометриясы болуға тиіс және ол бірден-бір Геометрия емес; аксиомаларды өзгертіп, жаңа Геометрияжасауға болады; нақты кеңістікке қандай Геометрия сәйкес келетіндігін тәжірибе көрсетеді. Лобачевский Евклидтің 5-қағидасын (постулатын) өзінің басқа аксиомасымен (Лобачевский аксиомасы деп аталатын) ауыстырып, жаңа Геометрия жасады. Бұл Г-ға Гаусс пен венгр математигі Я. Больяй (1802 — 60) да жақын келді. 5-қағида орнына өз аксиомасын (Риман аксиомасы деп аталатын) алып, Ф.Б. Риман эллипстік Г-ныңГеометрияның негізін салды. Риман кеңістікті кез келген біртектес объектілер мен құбылыстардың үздіксіз жиыны ретінде түсіну қажеттігін көрсетті. Бұл идеяның құлашы кең болды. Соның арқасында кеңістіктің көптеген матем. теориялары жасалды. Лобачевский идеялары Геометрия негіздемелерінің шығуына, Г-лардыңГеометриялардың жалпылануына және олардың одан әрі дамуына жол ашты. Проективтік-дифференциалдық Геометрия, топология, көп өлшемді кеңістіктер Г-сыГеометриясы, көпбейнеліктер Г-сыГеометриясы, т.б.тағыда басқа осы дәуірде шықты. Г-ларГеометриялар бірқатар арнаулы салаларға бөлініп кетті.

Қазіргі Геометрия, кеңістік пен фигураны жиын ұғымы арқылы анықтайды. Онда кеңістік әдеттегі қатынастар сияқты, дәйекті қатынастар тағайындалған элементтердің (“нүктелердің”) жиыны ретінде қарастырылады. Тиісті қатынастар тағайындалған жағдайда, сәуле түстерінің жиыны, [0; 1] кесіндісіндегі үздіксіз функциялардың жиыны, т.б.тағыда басқа “кеңістіктер” құрастыра алады. Сәуле түстері, күйлер, функциялар сол сәйкес “кеңістіктердің” “нүктелері” рөлін атқарады. Негізгі кеңістіктік қатынастар ретінде “ара қашықтық”, “іліктестік”, “нүкте аймағы”, “сәйкестік”, т.б.тағыда басқа ұғымдар алынады. Жиындар мен қатынастарды әр түрлі етіп алып, әр түрлі Г-лардыГеометрияларды құрастыруға болады. Соңғы кезде өлшемдерінің саны шектеулі болатын кеңіс-тіктің Г-сыГеометриясы қалыптасты. Ол функционалдық анализ курсында баяндалады.

Геометрия табиғатты зерттеуде, техниканы дамытуда қуатты құрал болып табылады. Ол матем. анализге, механикаға, физикаға, астрономияға, геодезияға, картографияға, кристаллографияға, т.б.тағыда басқа ғылымдарға елеулі ықпал етеді.

Қазақстан математиктерінің Г-данГеометриядан жүргізген зерттеу жұмыстары (ҚазМУ-де 1950 жылдары) акад. А.Д. Александровтың ықпалына байланысты болды. Ол беттер теориясын әрі қарай дамыту мәселесін қойды. Сөйтіп беттердің кең класын екі дөңес беттің айырмасы ретінде қарастыруға болатынын көрсетті. В.В. Стрельцовтың еңбектері беттердің жалпы теориясына арналды. Д.Ш. Юсуповтың зерттеу жұмыстары Лобачевский және эквиаффиндік кеңістіктерде шекті бұрылысы және шекті толық бұралуы бар реттелмеген сызықтардың жалпы теориясына байланысты болды. К.П. Персидский өз еңбегінде Евклид кеңістігіндегі Лобачевский геометриясының түсіндірмесін берді. Г-ныңГеометрияның басқа бөлімдеріне жататын жұмыстардан: жалпы перпендикулярлары Гишар конгруэнциясы болатын қабаттас қос конгруэнциялар зерттелді (А.Нәубетов); аффиндік байланыстағы сызықтық элементтер кеңістігінде нормаль координаттардың дифференциалдану тәртібі қарастырылды (Э.И. Хмелевский); кеңістіктегі төрт-ткань қисықтың 11 түрі табылды (Т.К. Нәзіров); Лобачевский жазықтығында тор бұрышымен анықталмайтын түзу сызықты торлардың қасиеттері зерттелді (П.И.Токарев); шекараларында байланыстары бар қисықтығы теріс айналу беттерінің шексіз аз иілімі қарастырылды (Ж. Өтеулиев); бірқатар жұмыстар векторлық есептеу-лердің шығу тарихы мен жеке дамуына арналды (Ф.Д. Крамар).