|
}}
== Вариациялары мен жалпыламалары ==
== Вариации и обобщения ==
* Тригонометриялық баламасы:
* Тригонометрический эквивалент:
: <math>\frac{\sin\angle BAA'}{\sin\angle A'AC} \cdot \frac{\sin\angle CBB'}{\sin\angle B'BA} \cdot \frac{\sin\angle ACC'}{\sin\angle C'CB}=-1</math>, гдемұндағы всебарлық углыбұрыштар — [[ориентированныйбағдарланған уголбұрыш|ориентированныебағдарланған]].
* Сфералық геометрияда Менелай теоремасы былай түрленеді
* В сферической геометрии теорема Менелая приобретает вид
: <math>\frac{\sin |AB'|}{\sin |B'C|}\cdot\frac{\sin |CA'|}{\sin |A'B|}\cdot\frac{\sin |BC'|}{\sin |C'A|} = 1.</math>
* Лобачевский геометриясында Менелай теоремасы түрі
* В геометрии Лобачевского теорема Менелая приобретает вид
: <math>\frac{\operatorname{sh} |AB'|}{\operatorname{sh} |B'C|}\cdot\frac{\operatorname{sh} |CA'|}{\operatorname{sh} |A'B|}\cdot\frac{\operatorname{sh} |BC'|}{\operatorname{sh} |C'A|} = 1.</math> <br />
* Теорема Менелая является следствием следующей теоремы:
'''Теорема''' (Дубовик{{источник}}):'' Рассмотрим на [[комплексная плоскость|комплексной плоскости]] положительно ориентированный ΔАВС (обход по его вершинам осуществляется против часовой стрелки). Пусть <math>z_1</math>,<math>z_2</math>, <math>z_3</math> - [[комплексные числа|комплексные числа]], причём <math>\frac{z_1z_2z_3}{(z_1-1)(z_2-1)(z_3-1)}=1</math>. Рассмотрим точки плоскости А<sub>1</sub>, В<sub>1</sub>, С<sub>1</sub> с комплексными координатами:
: <center><math>\begin{cases} a_1=(a-c)z_1+c; \\
b_1=(b-a)z_2+a; \\
c_1=(c-b)z_3+b.\end{cases}</math></center>
''Точки А<sub>1</sub>, В<sub>1</sub>, С<sub>1</sub> [[коллинеарные точки|коллинеарны]] тогда и только тогда, когда число <math>\frac{z_1}{1-z_2}\in R</math>.''
Действительность одного из чисел <math>z_1</math>,<math>z_2</math>, <math>z_3</math>, в данной теореме, влечёт действительность двух других. Тогда точки А<sub>1</sub>, В<sub>1</sub>, С<sub>1</sub> лежат на прямых АС, АВ и ВС соответственно и мы получаем теорему Менелая.
== История ==
| 