Дискриминант

Дискриминант (латынша – бөлуші, ажыратушы) – $ax^{2}+bx+c$ – екі дәрежелі үш мүшенің дискриминанты $b^{2}-4ac$ болса, x2+px+q үш мүшенің дискриминанты (p/2)2 – q – ға тең. X3+px+q – үш мүшенің дискриминанты. D=-4P3-27Q2. Үш мүшенің нақты түбірлерінің саны дискриминантын таңбасына тәуелді анықталады.”Дискриминант” ғылыми атауын ағылшын математигі Джеймс Сильвестр (1814 – 1897) енгізген.

$p(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}$ көпмүшесінің Дискримина́нты

$D(p)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}$ өргнегінің туындысы, бұл жерде $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$ — барлық түбірлер.

Негізгі қасиеттері

• Дискриминант түбірлері еселік болған жайғдайда ғана нөлге тең болады.
• Дискриминант көпмүшенің түбірлеріне қатысты симметриялы көпмүше болып табылады.
• $D(p)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}R(p,p')$, мұнда $R(p,p')$ — $p(x)$ көпмүшесінің және оның $p'(x)$ туындысының нәтижесі.
  • сонымен қатар, көпмүше дискриминанты

$p(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}$

көпмүшесінің дискриминанты келесі $(2n-1)\times (2n-1)$-матрицасының анықтауышына тең:

1	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	.	.	.	$a_{0}$	0	.	.	.	0
0	1	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	.	.	.	$a_{0}$	0	.	.	0
0	0	1	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	.	.	.	$a_{0}$	0	.	0
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
0	0	0	0	0	1	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	.	.	.	$a_{0}$
$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_{1}$	0	0	.	.	.	0
0	$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_{1}$	0	0	.	.	0
0	0	$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_{1}$	0	0	.	0
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
0	0	0	0	0	$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_{1}$	0
0	0	0	0	0	0	$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_{1}$

Мысалдар

• $ax^{2}+bx+c$ квадраттық үшмүшелігінің дискриминанты $b^{2}-4ac$ тең. Егер $D>0$ болса, теңдеудің екі түбірі болады. Ол түбірлерді

  $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}};$       (1)

формуласымен есептейді.

• ал $D=0$ болған жағдайда, теңдеудің жалғыз түбірі болады және ол

  $x={\frac {-b}{2a}};$

формуласымен есептеледі.

• егер $D<0$ болса, теңдеудің шешімі болмайды. (1) формуламен немесе

  $x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {4ac-b^{2}}}}{2a}}.$

формуласымен өрнектелетін екі кешенді түбір бар.

• $a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ көпмүшесінің дискриминанты

$-4a_{1}^{3}a_{3}+a_{1}^{2}a_{2}^{2}-4a_{0}a_{2}^{3}+18a_{0}a_{1}a_{2}a_{3}-27a_{0}^{2}a_{3}^{2}.$ тең.

• Сонымен қатар $x^{3}+px+q$ көпмүшесінің (түберлері Кардано формуласымен есептелетін) дискриминанты $-27q^{2}-4p^{3}$ тең.