Йенсен теңсіздігі

Йе́нсен теңсіздігі — дөңес функция анықтамаларымен тығыз байланыстағы Иоган Йенсен енгізген теңсіздік.

Йенсен теңсіздігі дөңес функция графигінің қиюшысы графиктен жоғары жатады деген ақиқаттың жалпыламасы болып табылады.

Шекті жағдайдағы тұжырымдамасы

Функция $f\left(x\right)$ белгілі бір ${\mathcal {X}}$ аралықта дөңес болсын және $\ q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}$ сандары үшін $\ q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}>0$ және $\ q_{1}+q_{2}+\ldots +q_{n}=1$ болсын. Онда $\ x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ сандарының ${\mathcal {X}}$ аралығында кез келген мәндері үшін мына теңдік орындалады:

$f(q_{1}x_{1}+q_{2}x_{2}+\ldots +q_{n}x_{n})\leq q_{1}f(x_{1})+q_{2}f(x_{2})+\ldots +q_{n}f(x_{n})$

немесе

$f\left(\sum _{i=1}^{n}q_{i}x_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}q_{i}f(x_{i})$.

Ескерту:

• Егер $\ f(x)$ функциясы ойыс(жоғарға дөңес), онда теңсіздік белгісі керісінше болады.
• Иоган Йенсен өзі ең жеке жағдайдан, дәлірек айтқанда

$f\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)\leq {\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}}$, бұл мына жағдайға сәйкес келеді $q_{1}=q_{2}={\frac {1}{2}}$.

Дәлелдеу

Математикалық индукция тәсілімен дәлелдейік.

• $\ n=2$ жағдайында неңсіздік дөңес функция анықтамасынан шығады.
• Жорамал: теңсіздік қандай да бір натурал сан $\ n$ үшін орындалсын, сонда ол $\ n+1$ үшін де орындалатынын дәлелдейік, яғни

$f(q_{1}x_{1}+q_{2}x_{2}+\ldots +q_{n}x_{n}+q_{n+1}x_{n+1})\leq q_{1}f(x_{1})+q_{2}f(x_{2})+\ldots +q_{n}f(x_{n})+q_{n+1}f(x_{n+1})$.

Осы мақсатпен сол жақтағы соңғы екі қосылғышты $\ q_{n}x_{n}+q_{n+1}x_{n+1}$ бір қосылғышпен алмастырайық

$(q_{n}+q_{n+1})\left({\frac {q_{n}}{q_{n}+q_{n+1}}}x_{n}+{\frac {q_{n+1}}{q_{n}+q_{n+1}}}x_{n+1}\right)$;

бұл $\ n$ жағдайындағы теңсіздікті пайдалануға мүмкіндік береді, яғни жоғарыдағы қосынды мына қосындыдан аспайды

$q_{1}f(x_{1})+q_{2}f(x_{2})+\ldots +(q_{n}+q_{n+1})f\left({\frac {q_{n}}{q_{n}+q_{n+1}}}x_{n}+{\frac {q_{n+1}}{q_{n}+q_{n+1}}}x_{n+1}\right)$.

Функция мәніне соңғы қосылғышқа $\ n=2$ үшін теңсіздікті пайдалану ғана қалды. Осылайша математикалық индукция тәсілі бойынша Йенсен теңсіздігі толықтай дәлелденді.

Жеке түрлері немесе салдары

Гёльдер теңсіздігі

• $\ f(x)=x^{k}$ болсын, мұндағы $\ x>0,$ $\ k>1$ (дөңес функция). Онда

$\left(\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}\right)^{k}\leq \sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}^{k}}$,      $\ q_{1},\ldots ,q_{n}>0$ және $\ q_{1}+\ldots +q_{n}=1$

$\ q_{i}={\frac {p_{i}}{p_{1}+\ldots +p_{n}}}$ деп белгілейңк, мұндағы $\ p_{1},\ldots ,p_{n}$- кез келген оң сандар, онда тогда теңсіздік былай жазыла алады

$\left(\sum _{i=1}^{n}{p_{i}x_{i}}\right)^{k}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}{p_{i}}\right)^{k-1}\sum _{i=1}^{n}{p_{i}x_{i}^{k}}$.

Мұнда $\ p_{i}$ мынаған $\ b_{i}^{\frac {k}{k-1}}$ ал $\ x_{i}$ мынаған ${\frac {a_{i}}{b_{i}^{\frac {1}{k-1}}}}$ алмастырсақ, белгілі Гёльдер теңсіздігін шығарамыз:

$\sum _{i=1}^{n}{a_{i}b_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}{a_{i}}^{k}\right)^{\frac {1}{k}}\left(\sum _{i=1}^{n}{b_{i}}^{\frac {k}{k-1}}\right)^{\frac {k-1}{k}}$.

Коши теңсіздігі

• $\ f(x)=\ln x$ (ойыс функция) болсын. Онда

$\sum _{i=1}^{n}{q_{i}\ln x_{i}}\leq \ln \left(\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}\right)$, немесе $\ln \prod _{i=1}^{n}{x_{i}^{q_{i}}}\leq \ln \sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}$, онда $\prod _{i=1}^{n}{x_{i}^{q_{i}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}$.

Жеке түрі $q_{i}={\frac {1}{n}}$ болғанда Коши теңсіздігі шығады (геометриялық орташа арифметикалық орташадан аспайды)

${\sqrt[{n}]{x_{1}\ldots x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}$

Гармоникалық орташа мен геометриялық орташа арасындағы теңсіздік

• $\ f(x)=x\ln x$ (дөңес функция) болсын. Онда

$\left(\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}\right)\ln \left(\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}\ln x_{i}}$. $q_{i}={\frac {\frac {1}{x_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}$ қойсақ, табатынымыз

${\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq \left(x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)^{1/n}$ (Гармоникалық орташа геометриялық орташадан аспайды)

Гармоникалық орташа мен арифметикалық орташа арасындағы теңсіздік

• $\ f(x)={\frac {1}{x}}$ (дөңес функция) болсын. Онда ${\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {q_{i}}{x_{i}}}$

Жеке түрі $q_{i}={\frac {1}{n}}$ болғанда шығатыны гармоникалық орташа арифметикалық орташадан аспайтыны:

${\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}$

Интегралдық тұжырымдамасы

$\varphi \left(x\right)$ дөңес функция және интегралданатын $f\left(x\right)$ функциясы үшін

$\varphi \left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\leq {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\varphi ((b-a)f(x))\,dx.$ орындалады

Тағы қараңыз

• Юнга теңсіздігі
• Минковский теңсіздігі
• Гёльдер теңсіздігі