Сызық

Сызық – геометриялық ұғым. Сызықтың әзірше мүмкін жағдайлардың бәрін қамтитын анықтамасы жоқ және ол геометрияның әр түрлі саласында түрліше тұрғыдан қарастырылады.

Шеңбер

1) Элементар геометрияда түзу сызық, түзуден бөлінген кесінділер, кесінділерден құралған сынық сызық және кейбір қисық сызық қарастырылады. Әрбір сызық арнайы тәсілдермен анықталады (мысалы, шеңбер D орталығынен бірдей қашықтықта жатқан барлық нүктелердің жиынтығы арқылы анықталады).

• Түзу сызық көбіне анықтамасыз қабылданады.
• Сынық сызық кесінділерді бір-біріне ұштастыру арқылы құрастырылады.
• Қисық сызықтың ең қарапайым түрі – шеңбер. Беттің кез келген бөлігінің шекаралары, сондай-ақ қозғалыстағы нүктелердің траекториясы да сызық болып есептеледі.

2) Нүктенің траекториясы ретінде қарастырылатын сызықты параметрлік теңдеулер арқылы сипаттауға болады. Мысалы, жазықтықтағы тік бұрышты (х, у) координаттар жүйесінде радиусы R болатын, орталығы координаттар басында орналасқан шеңберді x = Rcost, y = Rsіnt теңдеулері арқылы енгізуге болады. Мұндағы t параметрі 0 ≤ t ≤ 2 кесіндісіндегі мәндерді қабылдаса, онда М(х, у) нүктесінің траекториясы шеңбер болады. Жалпы алғанда жазықтықтағы cызық x = ƒ(t), y = ƒ(t) теңдеулерімен, ал үш өлшемді кеңістіктегі cызық x = ƒ(t), y = ƒ(t), z = ƒ(t) түріндегі теңдеулерімен өрнектеледі. Бұл жерде t параметрі сан осінің шектеулі немесе шектеусіз аралығындағы мәндерді қабылдайды. ƒ(t), ƒ(t), ƒ(t) – осы аралықтағы үздіксіз функциялар.

3) Аналитикалық геометрияда жазықтықтағы сызық Ғ(х, у) = 0 теңдеуімен, ал үш өлшемді кеңістіктегі сызық Ғ₁(х, у, z) = 0, Ғ₂(х, у, z) = 0 теңдеулер жүйесімен беріледі. Егер Ғ(х, у) функциясы n=1 дәрежелі көпмүшелік болса, Ғ(х, у) = 0 теңдеуімен анықталатын сызық алгебралық қисық сызық деп аталады. n саны алгебрfks0 қисық сызықтың реті.

• Түзу – бірінші ретті сызық.
• Шеңбер, эллипс, гипербола, парабола – екінші ретті сызықтар, олар (х-у)² = 0 теңдеуімен анықталады.
• Үшінші (Декарт жапырағы, кубтық парабола, жартылай кубтық парабола т.б.)
• Tөртінші (Бернулли лемнискатасы, Декарт овалдары, кардиоида, т.б.) және одан да жоғары (Лама қисығы, синусоидалық спираль) ретті сызықтардың жиі кездесетін түрлері.

Астоида циклоидалық қисық сызық

Алгебралық қисықтардан өзгеше сызықтар трансцендент сызықтар (тригонометриялық, көрсеткіштік, логарифмдік, гиперболалық функциялардың графиктері, квадратриса, трактриса, т.б.) деп аталады. Сызылу әдісі жағынан біріне-бірі жақын бір топ сызық циклоидалық қисық сызықтар (астроида, гипоциклоидалар, эпициклоидалар, т.б.) деп аталады. Циклоидалық сызықтардың кейбіреулері алгебралық қисық сызықтарға, кейбіреулері трансцендент қисықсызықтарға жатады. Үшінші ретті сызықтардың 76 түрі (И.Ньютон), төртінші ретті сызықтардың 146 түрі (Л.Эйлер) бар.

4) Проективтік геометрияда жазықтықтағы алгебралық сызық біртектес координаталар арқылы Ғ(х1, х2, х3) = 0 теңдеуімен берілуі мүмкін.

5) XIX ғасырдың 80-жылдарында француз математигі К.Жорданның ұсынуы бойынша кез келген шағын аймақтағы байланысқан континуум (мысалы, үшбұрыш, төртбұрыш, куб, т.б.) кесіндінің үздіксіз бейнесі бола алады. Кесіндінің бірмәнді үздіксіз бейнесін қарапайым доға немесе жордан доғасы деп, ал шеңбердің бірмәнді үздіксіз бейнесін қарапайым тұйық сызық деп атайды. Қазіргі топологияда сызық ұғымының 1921 ж. кеңес математигі П.С. Урысон ұсынған анықтамасы қолданылады. Оның айтуы бойынша сызық – өлшемділігі 1-ге тең еркін алынатын континуум.

6) Екінші ретті сызықтарды ежелгі заманның математиктері зерттей отырып, бірқатар жоғары ретті алгебралық қисықтарды және транцендент сызықтарды қарастырды. Алайда сызықтарды зерттеу және оларды кластарға бөлу аналитикалық геометрия қалыптасқаннан кейін ғана басталды.

Дереккөздер

«Қазақстан»: Ұлттық энцклопедия / Бас редактор Ә. Нысанбаев – Алматы «Қазақ энциклопедиясы» Бас редакциясы, 1998 ISBN 5-89800-123-9, VIII том