Бернулли формуласы

Бернулли формуласы— ықтималдық теориясындағы формуланың бірі. Ол – тәуелсіз сынау $A$ оқиғасының ықтималдығын табуға көмектеседі. Бернулли формуласы үлкен көлемдегі ықтималдықтарды қосып және көбейткен кезде қолданылады. Осы формуланы ойлап тапқан швейцариялық математик Якоб Бернуллидің құрметіне «Бернулли формуласы» деп аталған.

Тұжырымдау

Теорема. Егер әрбір сынауда $A$ оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты және ол р-ге тең болса, онда n рет тәуелсіз сынау жүргізгенде ол оқиғаның дәл т рет пайда болу ықтималдығы мынаған тең:

$P_{m,n}=C_{n}^{m}\cdot p^{m}\cdot q^{n-m}$, сонда $q=1-p$.

Дәлелдеме

$n$ тәуелсіз сынау жүргізілсін, әрбір тәуелсіз сынауда $A$ оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты $P\left(A\right)=p$ (пайда болмауы $P\left({\bar {A}}\right)=1-p=q$) екендінгі белгілі. Дегенмен, сынау кезінде $p$ және $q$ өзгеріссіз қалады. $n$ - ның тәуелсіз сынау кезінде $A$ оқиғас $k$ рет пайда болу ықтималдығы қандай? Негізі $A$ оқиғасы $k$ рет кездескенде, $n$ - ның тәуелсіз сынау кезіндегі «табыс» тіркемесінсын дәл анықтауға болады. Дәлірек бұл $n$ -нан $k$-ға дейінгі құрамалар саны:

$C_{n}(k)={\frac {n!}{k!\left(n-k\right)!}}$.

Сонымен қатар, барлық сынақтар тәуелсіз және олардың нәтижелері қарама-қайшы (оқиға $A$ жүреді немесе жүрмейді), демек «табыс» тіркемесінің нәтижесі осыған тең: $p^{k}\cdot q^{n-k}$.

Түгелдей, $n$ тәуелсіз сынағдағы $A$ оқиғасы дәл $k$ реттік ықтималдылығын табу үшін «табыс» тіркемесінің барлық ықтималдығын біріктіру (қосу) керек. «Табыс» тіркемесінен алынған барлық ықтималдық бірдей және $p^{k}\cdot q^{n-k}$ тең, «табыс» тіркемесінің саны $C_{n}(k)$ тең, сол себептен, соңында осындай нәтежеге ие боламыз:

$P_{k,n}=C_{n}^{k}\cdot p^{k}\cdot q^{n-k}=C_{n}^{k}\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{n-k}$.

Соңғы өрнек Бернулли формуласы секілді. Сонымен қатар, оқиғалар тобының толықтығы төмендегідей:

$\sum _{k=0}^{n}(P_{k,n})=1$.