Идеал (математикада)

Идеал, математикада – негізгі алгебралық ұғымдардың бірі.

Ол алғашқыда иррационал сандарды зерттеуге байланысты пайда болып, кейін математиканың басқа салаларында кеңінен қолданыла бастады. Арифметиканың негізгі теоремасының бірі былай айтылады: кез келген бүтін рационал сан, жай сан (жіктелмейтін) көбейткіштерінің көбейтіндісіне, көбейткіштердің таңбасы мен ретін есепке алмағанда, бір ғана түрде жіктеледі. Мысалы, 24=2·2·2·3 не 24=(-2)·3·(-2)·2, т.б. 19 ғасырда математиктердің алдына, тек бірінші дәрежелі өрістің бүтін сандарын жіктеп қана қоймай, табиғаты күрделі сандарды да көбейткіштерге жіктеу мәселесі қойылды.
Cандар арасындағы бөлінгіштік ұғымын сандармен емес, идеал ұғымымен байланыстырсақ, жіктеудің бір мәнділік заңы бұзылмайтын болады. Қазіргі заманғы алгебрада идеал ұғымын сақина теориясымен байланыстыра отырып анықтайды. Сандар сақинасында идеал идеал сан деп те аталады. Идеал дегеніміз – берілген сандар сақинасында жататын және төмендегі екі шартты қанағаттандыратын сандар (элементтер) жиыны:

• 1) қосу мен алу амалдарына қарағанда тұйық жиын;
• 2) соңғы жиынның кез келген саны (элементі) мен сақинаның кез келген элементінің көбейтіндісі осы жиында жатады.

Идеалды (алғашқы “идеал сан”) тұңғыш рет неміс математигі Эрнст Эдуард Куммер (1810 – 1893) енгізген (1847). Куммер оны сандар өрісінің бір түрі үшін ғана анықтай алды. Идеалдың дәлірек және толық теориясын, бір-біріне тәуелсіз, 1871 ж. неміс математигі Р.Дедекинд (1831 – 1916) және 1877 ж. орыс математигі Егор Иванович Золотарев (1847 – 1878) жасады. 20 ғасырдың ортасынан бастап, идеал теориясы жалпы сақина теориясының дамуына байланысты жаңа мазмұн алды.