Квадраттық функция

Квадраттық функция деп мына түрде беруге болатын функцияны айтады $f(x)=ax^{2}+bx+c~$, мұнда$a\neq 0~$.

$f(x)=x^{2}-x-2\!$

Графигі

$f(x)=ax^{2}|_{a=\{0.1,0.3,1,3\}}\!$

$f(x)=x^{2}+bx|_{b=\{1,2,3,4\}}\!$

$f(x)=x^{2}-bx|_{b=\{1,2,3,4\}}\!$

Квадраттық функцияның графигі парабола деп аталады.

Жалпы түрде квадраттық функцияның теңдеуі мына түрде жазылады: $y=ax^{2}+bx+c$. Парабола төбесінің координаттары: $(x_{0};y_{0}),x_{0}=-{\frac {b}{2a}},y_{0}{}=-{\frac {D}{4a}}~$.

$x=-{\frac {b}{2a}}~$ түзуі квадраттық функция графигінің симметрия осі деп аталады.

Егер a<0 болса парабола төмен тармақталған болады, a>0 болғанда — жоғары тармақталған.

Квадраттық функцияның қасиеттері

Квадраттық функцияның қасиеттері дискриминанттың мәніне байланысты болады. Дискриминант мына формула бойынша есептеледі $D=b^{2}-4ac~$

$a>0~$ болғандағы квадраттық функцияның қасиеттері (Осы түспен $a<0$ болғандағы қасиеттері көрсетілген.):

Қасиеті	Дискриминант
	$D>0~$	$D=0~$	$D$
Анықталу облысы	$D(f)=R~$
a>0 болғандағы мәндер жиыны	$E(f)=[-{\frac {D}{4a}};+{\mathcal {1}})~$
a<0 болғандағы мәндер жиыны	$E(f)=(-{\mathcal {1}};-{\frac {D}{4a}}]$
Функцияның нөлдері	$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}~$	$x=-{\frac {b}{2a}}~$	$\emptyset ~$
Оң ( теріс) мәндер	$(-{\mathcal {1}};x_{1})\cup (x_{2};+{\mathcal {1}})~$	$-{\frac {b}{2a}}~$ нүктелерден басқа барлық жерде	Барлық жерде
Теріс ( оң ) мәндер	$(x_{1};x_{2})~$	Теріс ( оң ) мәндері жоқ
Кему (өсу) аралығы, егер а>0	$(-{\mathcal {1}};-{\frac {b}{2a}}]~$
Өсу ( кему) аралығы, егер a>0	$[-{\frac {b}{2a}};+{\mathcal {1}})~$
Ең кіші ( ең үлкен ) мәні	$f(x)_{min}=-{\frac {D}{4a}}~$

Практикада кездесетін жерлері

• Еркін құлап жатқан дене биіктігінің уақытқа тәуелділігі.
• Фигура ауданының оның сызықтық өлшемдеріне тәуелділігі (мысалы, дөңгелек ауданының радиусқа тәуелділігі).

Жалпылау

Көп айнымалы жағдайына жалпылау екінші ретті беттер болып табылады. Ондай теңдеудің жалпы түрін мына түрде жазуға болады:
$f({\vec {x}})={\vec {x}}^{T}A{\vec {x}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {x}}+c$
Бұл жерде: $A$ - квадрат түрдегі матрица, ${\vec {b}}$ - тұрақты вектор, $c$ - константа. Бұл жағдайда да функцияның қасиеттері (бірінші ретті жағдайына ұқсас) теңдеудің негізгі коэфиценті $A$ матрицасымен анықталады.

Тағы қараңыз

• Квадрат теңдеулер
• Афиндік-квадраттық функция
• Математикалық функциялар тізімі

Сілтемелер

• Квадраттық функцияның қасиеттері Мұрағатталған 23 сәуірдің 2009 жылы.
• Квадраттық функцияның қасиеттері Мұрағатталған 9 қыркүйектің 2013 жылы.