Тригонометриялық үйлесімдіктер

Тригонометриялық үйлесімдіктер — ортақ анықталу облысындағы барлық аргументтері үшін орындалатын тригонометриялық функциялардың математикалық өрнектері.

Негізгі тригонометриялық формулалар

Формула	аргументтің мүмкін болатын мәндері	Нөмірі
$~\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$	$\forall \alpha$	(1)
$\operatorname {tg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }}=\operatorname {sec} ^{2}\alpha$	$\alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,n\in \mathbb {Z}$	(2)
$\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }}=\operatorname {cosec} ^{2}\alpha$	$\alpha \neq \pi n,n\in \mathbb {Z}$	(3)

(1) формула Пифагор теоремасының салдары болып табылады. (2) жіне (3) формулалар (1) формуланы $~\cos ^{2}\alpha$ мен $~\sin ^{2}\alpha$ сәйкесінше бөлгенде шығады.

Аргументтерді қосу формуласы

Аргументтерді қосу формуласы
$\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$	(5)
$\cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$	(6)
$\operatorname {tg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta }{1\mp \operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta }}$	(7)
$\operatorname {ctg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {ctg} \alpha \operatorname {ctg} \beta \mp 1}{\operatorname {ctg} \beta \pm \operatorname {ctg} \alpha }}$	(8)

(7) Формула (5) формуласын (6) формуласына бөлгенде шығады. Ал (8) — (6) формуласын (5) формуласына

Формулаларды қорыту  

$\sin(\alpha +\beta ),\ \cos(\alpha +\beta )$

4 суретте төрт тік бұрышты үшбұрыштар берілген: ABC, ABE, ADE и CDE.

4 сурет. Аргументтерді қосу формулаларын қорыту

AE = 1, $\angle BAE=\alpha ,\angle EAC=\beta ,\angle BAC=\angle DEC=\alpha +\beta$.

Сондықтан

$(BE)=\sin \alpha$

$(AB)=\cos \alpha$

$(DE)=\sin \beta$

$(AD)=\cos \beta$.

Үшбұрыш ABC-дан шығатыны:

$\sin(\alpha +\beta )={\frac {\sin \alpha +(CE)}{\cos \beta +(CD)}}\qquad \qquad (14)$

$\cos(\alpha +\beta )={\frac {\cos \alpha }{\cos \beta +(CD)}}\qquad \qquad (15)$

Үшбұрыш CDE-ден шығатыны:

$\sin(\alpha +\beta )={\frac {CD}{CE}}\qquad \qquad \qquad \qquad (16)$

$\cos(\alpha +\beta )={\frac {\sin \beta }{CE}}\qquad \qquad \qquad \qquad (17)$.

(14) пен (16) теңдеулерінің оң жақтарын теңестірсек:

${\frac {(CD)}{(CE)}}={\frac {\sin \alpha +(CE)}{\cos \beta +(CD)}}$

$(CD)\cos \beta +(CD)^{2}=(CE)\sin \alpha +(CE)^{2}\qquad (18)$

(15) пен (17) теңдеулерінің оң жақтарын теңестіріп шыққанды теңдеуді CE-ге қатысты шешейік:

${\frac {\sin \beta }{(CE)}}={\frac {\cos \alpha }{\cos \beta +(CD)}}$

$(CE)={\frac {\sin \beta (\cos \beta +(CD))}{\cos \alpha }}\qquad \qquad \qquad (19)$.

(CE) мәнін (19)дан (18)ге салсақ:

$(CD)=\sin \beta {\frac {\sin(\alpha )\cos(\alpha )+\sin(\beta )\cos(\beta )}{\cos ^{2}(\alpha )-\sin ^{2}(\beta )}}\qquad (20)$.

Шыққан CD мәнін (15)ке саламыз:

$\cos(\alpha +\beta )={\frac {\cos \alpha }{\cos \beta +\sin \beta {\frac {\sin(\alpha )\cos(\alpha )+\sin(\beta )\cos(\beta )}{\cos ^{2}(\alpha )-\sin ^{2}(\beta )}}}}=$

$={\frac {\cos ^{2}(\alpha )-\sin ^{2}(\beta )}{\cos(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta )}}=$

$={\frac {\cos ^{2}(\alpha )-\sin ^{2}(\beta )+\cos ^{2}(\alpha )\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\alpha )\cos ^{2}(\beta )+\sin ^{2}(\alpha )\sin ^{2}(\beta )-\sin ^{2}(\alpha )\sin ^{2}(\beta )}{\cos(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta )}}=$

$={\frac {\cos ^{2}(\alpha )(1-\cos ^{2}(\beta ))-\sin ^{2}(\beta )(1-\sin ^{2}(\alpha ))+\cos ^{2}(\alpha )\cos ^{2}(\beta )-\sin ^{2}(\alpha )\sin ^{2}(\beta )}{\cos(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta )}}=$

$={\frac {\cos ^{2}(\alpha )\sin ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\alpha )\sin ^{2}(\beta )+\cos ^{2}(\alpha )\cos ^{2}(\beta )-\sin ^{2}(\alpha )\sin ^{2}(\beta )}{\cos(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta )}}=$

$={\frac {(\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta ))(\cos(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta ))}{\cos(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta )}}$.

Сонымен:

$\cos(\alpha +\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta )$.

(15)тен шығатыны:

$(CD)={\frac {\cos(\alpha )-\cos(\beta )\cos(\alpha +\beta )}{cos(\alpha +\beta )}}\qquad \qquad (21)$

Ал (16) пен (17) өрнектерінен:

$(CD)=\sin(\beta ){\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (22)$

(21) мен (22) теңдеулерінің оң жақтарын теңестірсек табатынымыз $\sin(\alpha +\beta )$:

$\sin(\alpha +\beta )={\frac {\cos(\alpha )-\cos(\beta )\cos(\alpha +\beta )}{\sin(\beta )}}\qquad \qquad \qquad$

$\cos(\alpha +\beta )$ мәнін қоямыз:

$\sin(\alpha +\beta )={\frac {\cos(\alpha )-\cos(\beta )(\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta ))}{\sin(\beta )}}=$

$={\frac {\cos(\alpha )-\cos(\alpha )\cos ^{2}(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta )\cos(\beta )}{\sin(\beta )}}=$

$={\frac {\cos(\alpha )(1-\cos ^{2}(\beta ))+\sin(\alpha )\sin(\beta )\cos(\beta )}{\sin(\beta )}}=$

$={\frac {\cos(\alpha )\sin ^{2}(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta )\cos(\beta )}{\sin(\beta )}}$

Сонымен:

$\sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\cos(\alpha )\sin(\beta )$.

Қос бұрыш формуласы

Қос бұрыш формулалары (5), (6) , (7) және (8) формулаларынан β =α десек шығады:

Қос бұрыш формулалары
$\operatorname {sin} 2\alpha =2{\sin \alpha }{\cos \alpha }$	(23)
$\operatorname {cos} 2\alpha ={\cos ^{2}\alpha }-{\sin ^{2}\alpha }$ $\operatorname {cos} 2\alpha =2{\cos ^{2}\alpha }-1=1-2{\sin ^{2}\alpha }$	(24)
$\operatorname {tg} 2\alpha ={\frac {2\operatorname {tg} \alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}$	(25)
$\operatorname {ctg} 2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\operatorname {ctg} \alpha }}$

Ескерту  

$\operatorname {tg} 2\alpha$ формуласы үшін:

• $\alpha \not ={\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{2}}n,n\in \mathbb {Z}$
• $\alpha \not ={\frac {\pi }{2}}+\pi n,n\in \mathbb {Z}$
  

$\operatorname {ctg} 2\alpha$ формуласы үшін: $\alpha \not ={\frac {\pi }{2}}+\pi n,n\in \mathbb {Z}$

Үш бұрыштың формуласы

Үш бұрыштың формулалары
$\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha \,$
$\cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha \,$
$\operatorname {tg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}$
$\operatorname {ctg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {ctg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}$

Ескерту  

$\operatorname {tg} 3\alpha$ формуласы үшін: $\alpha \not ={\frac {\pi }{6}}+{\frac {\pi }{3}}n,n\in \mathbb {Z}$
$\operatorname {ctg} 3\alpha$ формуласы үшін: $\alpha \not ={\frac {\pi }{3}}n+\pi n,n\in \mathbb {Z}$;

Дәреже төмендету формулалары

Дәреже төмендету формулалары (24) формулаларынан шығады:

Синус		Косинус		Көбейтінді
$\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}$	(26)	$\cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}$	(27)	$\sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 4\alpha }{8}}$
$\sin ^{3}\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\alpha }{4}}$		$\cos ^{3}\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\alpha }{4}}$		$\sin ^{3}\alpha \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\sin 2\alpha -\sin 6\alpha }{32}}$
$\sin ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}}$		$\cos ^{4}\alpha ={\frac {3+4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}}$		$\sin ^{4}\alpha \cos ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 4\alpha +\cos 8\alpha }{128}}$
$\sin ^{5}\alpha ={\frac {10\sin \alpha -5\sin 3\alpha +\sin 5\alpha }{16}}$		$\cos ^{5}\alpha ={\frac {10\cos \alpha +5\cos 3\alpha +\cos 5\alpha }{16}}$		$\sin ^{5}\alpha \cos ^{5}\alpha ={\frac {10\sin 2\alpha -5\sin 6\alpha +\sin 10\alpha }{512}}$

Функциялар көбейтіндісін түрлендіру формулалары

Функциялар көбейтіндісін түрлендіру формулалары
$\sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}}$	(28)
$\sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )}{2}}$	(29)
$\cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )}{2}}$	(30)

Функциялар көбейтіндісін түрлендіру формулаларын қорыту  

Функцияларды қосу формулалары (5), (6) және (7) аргументтерді қосу формулаларынан қорытылады. Мысалы (5) формуласынан шығатыны:

$\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta =$

$=2\sin \alpha \cos \beta$.

Демек:

$\sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )}{2}}$    — (29) формула.

Дәл осылай қалған функцияларды қосу формулаллары шығады.

Функциялар қосындысы формулалары

Функциялар қосындысы формулалары
$\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}}$	(31)
$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$	(32)
$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$	(33)
$\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}$	(34)
$\operatorname {ctg} \alpha \pm \operatorname {ctg} \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }}$	(35)

Функциялар қосындысы формулаларын қорыту  

Функциялар қосындысы формулалары (28), (29), (30) және (31) функциялар көбейтіндісін түрдлендіру формулаларынан алмастыру арқылы қорытылады:

$\alpha ={\frac {\alpha +\beta }{2}}$

және

$\beta ={\frac {\alpha -\beta }{2}}$.

Осы өрнектерді (28) формуласына қойсақ:

$\sin({\frac {\alpha +\beta }{2}})\sin({\frac {\alpha -\beta }{2}})={\frac {\cos \beta -\cos \alpha }{2}}$, яғни

$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin({\frac {\alpha +\beta }{2}})\sin({\frac {\alpha -\beta }{2}})$    — (33) формула.

Дәл сола синус пен косинус үшін де қорытуға болады. (7)ден шығатыны:

$\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} \beta =\operatorname {tg} (\alpha +\beta )(1-\operatorname {tg} (\alpha )\operatorname {tg} (\beta ))=$

$={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}\cdot {\frac {\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}$

$={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}\cdot {\frac {\cos(\alpha +\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}$, демек

$\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}\qquad \qquad$   — (34) формула.

Үш әр-түрлі бүрыш синустар қосындысын көбейтіндіге түрлендіру :$\alpha \ +\beta \ +\gamma \ =180^{\circ }$ болғанда:

$\sin 2\alpha +\sin 2\beta +\sin 2\gamma =4\sin \alpha \ \sin \beta \ \sin \gamma$

Қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу

• $\sin x=a.$

Егер $|a|>1$ — нақты шешуі жоқ.

Егер $|a|\leqslant 1$ — мына $x=(-1)^{n}\arcsin a+\pi n;\ n\in \mathbb {Z} .$ түрдегі сандар шешімі болып табылады

• $\cos x=a$.

Егер $|a|>1$ — нақты шешуі жоқ.

Егер $|a|\leqslant 1$ — мына $x=\pm \arccos a+2\pi n;\ n\in \mathbb {Z} .$ түрдегі сандар шешімі болып табылады

• $\operatorname {tg} \,x=a.$

Мына $x=\operatorname {arctg} \,a+\pi n;\ n\in \mathbb {Z} .$ түрдегі сандар шешімі болып табылады

• $\operatorname {ctg} \,x=a.$

Мына $x=\operatorname {arcctg} \,a+\pi n;\ n\in \mathbb {Z} .$ түрдегі сандар шешімі болып табылады

Әмбебап тригонометриялық алмастыру

Үйлесімдіктер тек екі жағы (яғни $\alpha \neq \pi +2\pi n$) бар болғанда ғана мағыналы болады.

• $\sin \alpha ={\frac {2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$

• $\cos \alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$

• $\operatorname {tg} \,\alpha ={\frac {2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$

Қосымша аргумент (Юнис тәсілі)

$a\sin x\pm b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin \left(x\pm \arcsin {\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)$

$a\cos x\pm b\sin x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cos \left(x\mp \arccos {\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)$

Тригонометриялық функциялардың комплекс түріндедегі түрі

Эйлер формуласы кез келген нақты $x$ үшін келесі теңдік орындалады дейді:

$~e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

мұндағы $e$ — натурал логарифм негізі,

$i$ — жалған бірлік.

Эйлер формуласымен $\sin x$ пен $\cos x$ функцияларын былай анықтауға болады:

$\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$,

$\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$.

Содан:

$\operatorname {tg} \,x={\frac {i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}}$

$\operatorname {ctg} \,x={\frac {i(e^{ix}+e^{-ix})}{e^{ix}-e^{-ix}}}$