Қайтымды теңдеу

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}=0$ түріндегі алгебралық теңдеуді қайтымды деп атайды. Бұл теңдеудің ортасындағы позицияға қатысты симметриялы коэффициенттері тең болса, яғни, $a_{n-k}=a_{k}$, мұнда k = 0, 1, …, n. Кейді мұндай теңдеулерді симметриялы теңдеулер деп те атайды.

Төртінші дәрежелі теңдеу

$~ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0$ түріндегі төртінші дәрежелі қайтымды теңдеуді алайық, мұнда a, b және c — кез келген сандар, сондай-ақ $a\neq 0$.

Осындай теңдеулерді шешу алгоритмі:

• теңдеудің оң жағын да, сол жағын да $x^{2}$ бөлу. $a\neq 0$ болған жағдайда x = 0 бұл теңдеудің түбірі бола алмайды;
• топтастыру арқылы теңдеуді келесі түрге келтіру: $a\left(x^{2}+{1 \over x^{2}}\right)+b\left(x+{1 \over x}\right)+c=0$;
• жаңа айнымалы еңгізу $t={x+{1 \over x}}$, онда $t^{2}={x^{2}+2+{1 \over {x^{2}}}}$ теңдігі орындалады, яғни, ${x^{2}+{1 \over {x^{2}}}}={t^{2}-2}$;
• Айнымалы еңгізу арқылы алған теңдеу квадрат теңдеу болып саналады: $at^{2}+bt+c-2a=0$;
• теңдеуді шешіп, бастапқы айнымалыны есептеу.

Модификациялынған және жалпыланған төртінші дәрежелі теңдеу

$~ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}-bx+a=0$ модификациялынған қайтымды төртінші дәрежелі теңдеуді $t$ айнымалысына қатысты $t=x-{\frac {1}{x}}$ деген еңгізу жүргізу арқылы квадрат теңдеуге келтіріп алуға болады.

Жалпыланған төртінші дәрежелі теңдеуді $t=bx+{\frac {d}{x}}$ деген алмастыру жүргізу арқылы квадрат теңдеуге келтіріп алуға болады. Барлық $~ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ төртінші дәрежелі теңдеулердің ішінде бұл теңдеулер клесі коэффициенттік қатынаспен ерекшеленеді:

${\frac {e}{a}}=\left({\frac {d}{b}}\right)^{2}.$

Бесінші және одан жоғары дәрежелі теңдеулер

Жоғары дәрежелі қайтымды теңдеулер үшін келесі тұжырымдар орындалады:

• Жұп дәрежелі қайтымды теңдеуді

$x+{1 \over x}=t$ деген алмастыру жүргізу арқылы екі есе кші дәрежелі теңдеуге келтіріп алуға болады.

• Тақ дәрежелі қайтымды теңдеудің міндетті түрде x = −1 деген түбірі болады.

Тағы қараңыз

• Биквадрат теңдеу
• Палиндром

Сыртқы сілтемелер

• The Fundamental Theorem for Palindromic Polynomials (ағыл.)