|
'''Арифметикалық прогрессияның шығу тарихы''' Ежелгі замандардан бастап адамзат арифметикалық прогрессияның заңдылықтарын қолдана білген.Мәселен, Біздің заманымызға дейінгі ежелгі вавилондықтардың сына жазу (клинопись) кестелерінде , ежелгі мысырлық және гректердің папирустарында арифметикалық прогрессияға көптеген мысалдар кездеседі. Ежелгі грек ғалымдары прогрессиялардың кейбір қасиеттерін және олардың қосындысын таба білген.
Жалпы, арифметикалық прогрессия атауы сандардың арифметикалық ортасы (формуласы) ұғымынан ауысқан, ал геометриялық прогрессия атауы кесінділерінің геометриялық пропорционалдығынан (формуласы) ауысқан.
Арифметикалық прогрессия мүшелері қосындысының формуласын грек оқымыстысы Диофант (3ғ) дәлелдеген.
Арифметикалық прогрессиялар үшін жазылған формуласы формуласына байланысты атақты неміс математигі Карл Фредрих Гаусстың (1777-1855) өмірінен қызықты эпизод аңызға айналған. Мұғалім өзге сынып оқушыларының жұмыстарын тексеру мақсатында алдындағы оқушыларына 1-ден 40-қа дейінгі сандардың қосындысын табуды тапсырды. Бұл есепті 9 жасар Гаусс бір минутта шығарып, жауабын айтқан. Оның есепті шығару тәсілі мынадай еді:
1, 2, 3, ...,20
+
40, 39, 38, ..., 21
41,41,41,..., 41
Мұндай парлар саны 20 болғандықтан, берілген қосынды 41*20=820-ға тең, Яғни Гаусс арифметикалық прогрессия заңдылықтарын қолданды.
'''Арифметикалық прогрессия''' , 1-реттік арифметикалық қатар — әрбір келесі саны (2-саннан бастап) алдыңғысына бір тұрақты d санын қосқанда шығатын сандар тізбегі.
: <math>a_1,\ a_1+d,\ a_1+2d,\ \ldots,\ a_1+(n-1)d, \ \ldots</math>
формуласымен өрнектеледі. Арифметикалық прогрессияның жалпы мүшесінің тағы бір қасиеті мынадай: . Егер d>0 болса, онда арифметикалық прогрессия өспелі, егер d<0 болса, онда кемімелі болады. Арифметикалық прогрессияның ең қарапайым мысалына [[натурал сан]]дар тізбегі жатады. Арифметикалық прогрессия мүшелерінің саны шектелген не шектелмеген болуы мүмкін. Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысы
: <math>S_n=\sum_{i=1}^n a_i ={a_1+a_n \over 2}n={2a_1 + d(n-1) \over 2}n</math> формуласы арқылы есептеледі.
Арифметикалық прогрессия айырымы оң сан болғанда - өспелі,ал теріс сан болғанда – кемімелі деп аталады.
Мысалдар.
a). 1, 2, 3,… сандар тізбегі арифметикалық прогрессияны құрайды.
Бұнда a1=1, a2=2, a3=3, d=1. Шынымен де a1=1, a2=a1+1=1+1=2, a3=a2+1=2+1=3.
Бұл прогрессияның жалпы заңдылығы an=an-1+1.
b). 4, 7, 10, 13,… сандар тізбегі арифметикалық прогрессияны құрайды.
Бұнда a1=4, a2=7, a3=10, a4=13, d=3. Шынымен де a1=4, a2=a1+3=4+3=7, a3=a2+3=7+3=10, a4=a3+3=10+3=13.
с) а1=3,5 және d =1,5 болатын арифметикалық прогрессияның 100-мүшесін табайық:
а100=3,5+1,5(100-1)=3,5+148,5=152.
Жауабы: 152
d) 6,10,14, ... арифметикалық прогрессиясының кез келген мүшесін анықтайтын формуланы табайық.
Арифметикалық прогрессияның айырымы d=10-6=4, а1=6 болатындықтан, (1) формуласы бойынша
an= а1+(n-1) . d=6+(n-1) . 4=4n+2
Жауабы: an=4n+2
[[Санат:Арифметика]]
[[Санат:Сандар тізбегі]]
|
