Зенон парадокстері

Зенон парадокстері — ежелгі грек ойшылы Элейлік Зенон （Zeno of Elea）ортаға қойған бірқанша парадокстер (апория) айтылады. Олардың әуелгі жалпы саны 40 шақты болған делінеді. Қазір белгілісі төмендегі төрт парадокс. Бұл парадокстердің біршамасын Аристотель өзінің «Физика» атты еңбегінде жазып қалтырған.^[1]^[2] Бұл парадокстар оның ұстазы, болмыс онтологиясының негізін қалаушы Элейлік Парменидтің "болмыс өзгермейді, болмыс бірегей болады" деген идеяларын қорғау үшін айтылған. Кейін бұл парадокстер Сократ жағынан түрлі тақырыптарда еркін қолданылып, Сократтың өз әріптесін логикалық тығырыққа тіреп, надандығын бетіне басудың тамаша тәсіліне айналды деуге болады.^[3] Қозғалыстың өмір сүретінін терістейтін танымал парадокстар "Жартыбөлік парадоксі", "Ахиль тасбақаға жете алмайды", "Ұшқан жебе қозғалмайды", "Қосын парадоксі" қатарлылар. Бұл парадокстар қазір дифференциал-интеграл теориясы (Шексіздік) арқылы түсіндіріледі.

Жартыбөлік парадоксі

Дихатомия парадоксі

Дихотомия парадоксі деп те аталады.

Қозғалыс мүмкін емес. Өйткені, қозғалушы дене нысанаға жетуден бұрын алдымен бүкіл жолдың жартысын басуға тиіс. Ал ол жарты жолды басу үшін алдымен оның тағы жартысын басуға тиіс. Оны басу үшін оның жартысын басу керек. Осылай кете береді. Сөйтіп бұл жерде шексіз жарты жол пайда болады. Шексіз жарты жолдың шексіз нүктесін шекті уақытта басып өту ақылға сыймайды. Яғни, шексіз деген сөз таусылмайды дегенді білдіреді. Таусылмайтынды таусылатынмен орындау мүмкін емес. Демек, қозғалушы нысанаға жетпек түгіл, өзінің сол бір алғашқы нүктесінен еш жылжи алмай мәңгі-бақи қатып тұрады.

Мұндағы қозғалыс аралықта жылжуды емес, жылдамдықты көрсетеді. Қалаған А нүктеден В нүктеге қозғалу аралыққа ғана емес, уақытқа да қатысты. Егер қалаған А нүктеден В нүктеге жету үшін шексіз жартыларды басуға қажетті шексіз уақыт керек болса, онда оның жылдамдығы 0 ғана болады.

$\left\{\cdots ,{\frac {1}{16}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}},1\right\}$

Жылдамдық ұғымын аралық пен уақыттың байланысы етіп көрсеткенімізбен, бірақ табиғатта жылдамдық уақыт пен жылдамдықтың өзіне тіке тәуелді емес.^[4]

Ахиль-тасбақа парадоксі

Аралық пен уақыт, Ахильдің тасбақаны қууы

Ахиль-тасбақа парадоксінің бейнеленуі

"Қозғалысы ең ақырын денені қозғалысы ең тез дене қуып жете алмайды. Қуушы алдымен қашушы қозғалған нүктеге жетіп алуға тиіс. Ал ол қашушы аттанған нүктеге келгенде, қашушы да қарап тұрмай біраз жерге барып үлгіреді. Сөйтіп қашушы қай-қашанда қуушының алдында болады." ——— Аристотель «Физика» 9, 239b15

Әңгіменің ұзын ырғасы былай: Ахиль делінетін ежелгі грекия олимпиадасының жеңімпазы, әйгілі жүйрік өзінің алдында тұрған тасбақаға жете алмайды. Өйткені, мысал үшін Ахиль тасбақаның артында 1 метр қашықтықта деп есептейік. Ахил тасбақадан озу үшін міндетті түрде алдымен тасбақа тұрған нүктеге жетуі керек. Ахиль тасбақадан 10 есе жылдамдықпен дәл тасбақа тұрған нүктеге жеткенде, тасбақа да қарап тұрмай алдыға қарай 10см жылжып үлгіреді. Ахиль тасбақа басқан 10см жолды басып, тасбақа алдыға жылжып жеткен нүктеге жеткенде, тасбақа тағы да қарап тұрмай алдыға қарай 1см жылжып үлгіреді. Ахиль тасбақа жылжыған сол 1см-ді басқанда, тасбақа тағы да 10мм алдыға жылжып кетеді. Ахиль 1мм алдыға жылжығанда тасбақа тағы қарап тұрмай 0,1мм жылжып үлгіреді. Сөйтіп, әр рет Ахиль тасбақа тұрған нүктеге келгенде тасбақа алдыға болымысыз жылжып кетіп қапы қалдырып отырады. Сөйтіп қанша тырысса да тасбақаға Ахиль шексіз жақындайды, бірақ ешқашан оны қуып жетіп озып кете алмайды.

Платонның айтуынша, Зенон бұл парадоксті алғаш қалжыңдап айтқан. Алдымен Парменид осы қалжыңды пайдаланып "математикашыл" Пифагордың “1>0.999..., 1-0.999...>0” идеясын мазақ еткен. Сосын ол тағы осы парадоксті пайдаланып оқушысы Зенонның “1=0.999..., бірақ 1-0.999...>0” идеясын мазақтаған. Соңында Зенон бұл парадоксті пайдаланып Парменидтің “1-0.999...=0, немесе 1-0.999...>0” идеясын мазақ еткен.

Мысал үшін, Ахильдің жылдамдығы 10 m/s, тасбақаның жылдамдығы 1 m/s, тасбақа Ахильден 100m алда тұрады делік. Демек тасбақаны қуалау шексіздікке барып тіреледі: $t=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{n}}}$ . Ең арғы шек дегеніміз шексіз барыс арқылы ғана орындалады. Жасырын шексіздік нақты шексіздік барысында орындалмайды, ол 1 ге шексіз жақындайды, бірақ 1 ге жете алмайды, демек Ахиль тасбақаға жете алмайды. Егер кеңістік шексіз бөлінбейді деп есептесек, онда мұндай парадокс болмас еді. Демек шексіздік біздің сеніміміз ғана, егер сол сенімге сенсек, онда бұл шексіз жақындауға, бірдің орындалмауына апарады. Нақсандар, шек, интегралдар нақты шексіздікке негізделеді. Жасырын шексіздік үшін олар орындалмайды, қайта шексіз жақындаудай парадоксті жағдай туғызады.^[5]^[6]

Жебе парадоксі

Толық мақаласы: Жебе парадоксі

Әуеде ұшып бара жатқан бір жебе қозғалмайды, әуеде қатып тұрады. Өйткені, әрбір сәтте осы жебе белгілі бір тұрақты орында тыныш тұратындықтан, жебенің ол тұрақтылықты жойып, келесіге қозғалуы мүмкін емес, ондайда ол жоққа айналады. Яғни, келесі әрбір сәтте келесі тұрақты орынға жету үшін онда қозғалыс қуаты болуы керек және қозғалыс күйіне енуі керек. Сөйтіп әр нүктеде әрі бар, әрі жоқ болу қайшылығы келіп шығады. Демек ол өзінің әрбір жаңа нүктесі үшін бір бар болып, бір жоқ бола ма, сонда? Демек бұл өз-өзіне қайшы парадокс.^[7]

яғни: жебе өз траекториясының бүкіл барысындағы әрбір сәтте әрбір нүктеде әрі болу керек, әрі болмауы керек. Ал егер ол сол нүктелерде болмаса, онда оның өзі де болмауға тиіс. Ал, ол мәлім нүктеде болса, бастан-ақыр сонда бола беруге тиіс. Еш нәрсе әрі бар, әрі жоқ бола алмайды. Демек жебе де өзінің әрбір қозғалу нүктесінде әрі бар, әрі жоқ болып қозғала алмайды. Ол тұрақты түрде бар болуы үшін тек қана қозғалмауы тиіс.

Бұл парадокстің негізгі идеясы: "Ұшу" қозғалысы екі уақыт нүктесіне тән болады, яғни, осы сәттен келесі сәтке жету үшін бұл жебе қозғала ма, жоқ па дегендік.

Жылдамдық (жылдамдық кері саны (Reciprocal)) әдетте орын ұқсас болған жағдайда қажетті уақыттың ұзын-қысқалығына байланысты болады. Уақыт қысқа болса тез жылжыған, ал уақыт ұзақ болса ақырын жылжыған есептеледі. Бұл жаңа қорытынды шығаруға түріткі болады: дене әрқандай сәтте кеңістікте болады, дене кеңістіктегі әрбір орында тұруы үшін белгілі уақыт керек. мұны былай өрнектеп жазуға болады:

Z=1/V=t/s

Z физикалық шама болып, ол жылдамдыққа тең. Жылдамдық бірлігі "метр секунд", s/m болып таңбаланады. Егер қозғалысты жылдамдық тұрғысынан түсіндірсек, жылдам дене кеңістіктің мәлім нүктесінде тыныш тұрады, оның тыныштығына белгілі уақыт керек, осы уақыт біткенде ол бұл нүктеден шығып, келесі нүктеге ауысады.^[8]

Қосын қозғалысы парадоксі

Майданда деп есептейік, мәлім бір сәтте (ең кішкене уақыт бірлігі) А көрермендерге салыстырмалы айтқанда, Б және Г қосындары бір-біріне қайшы бағытта оңға және солға қарай белгілі аралыққа маршқа жүрді дейік. Төмендегідей орналасқан:

ＡＡＡＡ көрермендерＡ
ＢＢＢＢ қосын Ｂ・・・оңға қарай қозғалады（→）
Г Г Г Г Г қосын Г・・・солға қарай қозғалады（←）

B және Г екі қосын қозғалған кезде олар көрермендерге салыстырғанда оңға және солға қарай белгілі уақыт бірлігінде қозғала бастайды. Төмендегідей көрініс пайда болады:

……ＡＡＡＡ
………ＢＢＢＢ
… Г Г Г Г

Бұл кезде, В қосынына салыстырғанда Г қосыны екі бірлік жылжыды. Яғни, қосын бір сәтте бір бірлік (уақыттың ең кіші бірлігі) жылжып та, немесе жарты бірлік жылжып та бір бірлік қашықтық (қашықтықтың ең кіші бірлігі) қалыптастыра алады. Бұл қайшылық. Демек қосын қозғалмауы керек.^[9]

(Жоғарыдағы бұл төрт парадокс туралы "Ежелгі және бүгінгі математикалық ойлар" кітабында K.Klein түсіндірулер жасаған, ал Bill Smith төртінші парадокстің түсіндірілуін жетілдірген.)

Зенон құбылысы

Парадоксті елестетсек

Уақытқа қатысты жүйеде егер шекті уақыт ішінде шексіз жұмыс жасалса, оны Зенон құбылысы, немесе Зенон оқиғасы деп атайды. Ең қарапайым мысал, шардың жерге тиіп қайта серпіліп, ақыр-соңы тоқтауы құбылысы. Зенон мағынасы бойынша айтқанда, шар алғашқы серпіліс пен соңғы тоқтаған аралығында жерге шексіз серпілуі керек, демек бұл серпілістің шексіздігі шекті уақытта орындалған болып шығады. Біз бұл мәселені шешуде мына амалды қолданамыз: тоқтаған уақыт нүктесін жорамалдап алып, тек шардың серпілісіне ғана назар аударамыз, оның шексіз серпілуіне назар аудармаймыз.

Зенон құбылысын тағы мына жағдайда байқауға болады: Бір қарындашты екіге, оны төртке, оны сегізге, оны он алтыға, оны отыз екіге, оны алпыс төртке, ... осылай шексіз бөлдік дейік. Осылай шексіз бөлу мүмкін бе, мүмкін емес пе, бұл маңызды. Өйткені, егер солай шексіз бөлу мүмкін емес десек, әр нәрсенің бейне атом секілді бөлінбейтін (атом сөзінің ежелгі мағынасы бойынша) бөлшекке жетіп барамыз. Одан арғарай неге бөлінбейді, бұл қайшылық туғызады. Егер шексіз бөлу мүмкін десек, онда бұл қарындаш ақыр-аяғы шексіз бөлшекке айналады. Енді, сол шексіз бөлшекті қайта құрастырсақ, одан шекті қарындаш шықпайды. Шексіз бөлшек деген таусылмаайтын, түгемейтін бөлшек дегендік, ал таусылмайтын, түгемейтін нәрседен кішкентай бір қарындаш қалай құрастырылып тұр, міне бұл парадокс, немесе Зенон құбылысы.

Дереккөздер

↑ Aristotle's Physics Мұрағатталған 6 қаңтардың 2011 жылы. "Physics" by Aristotle translated by R. P. Hardie and R. K. Gaye
↑ Greek text of "Physics" by Aristotle (refer to §4 at the top of the visible screen area). Басты дереккөзінен мұрағатталған 16 мамыр 2008.
↑ ([fragment 65], Diogenes Laertius. IX Мұрағатталған 12 желтоқсанның 2010 жылы. 25ff and VIII 57).
↑ Huggett, Nick Zeno's Paradoxes: 3.1 The Dichotomy. Stanford Encyclopedia of Philosophy (2010). Тексерілді, 7 наурыз 2011.
↑ Math Forum., mathforum.org
↑ Huggett, Nick Zeno's Paradoxes: 3.2 Achilles and the Tortoise. Stanford Encyclopedia of Philosophy (2010). Тексерілді, 7 наурыз 2011.
↑ Laertius Diogenes Pyrrho // Lives and Opinions of Eminent Philosophers — about 230 CE Vol. IX. — ISBN 1-116-71900-2.
↑ Huggett, Nick Zeno's Paradoxes: 3.3 The Arrow. Stanford Encyclopedia of Philosophy (2010). Тексерілді, 7 наурыз 2011.
↑ Huggett, Nick, "Zeno's Paradoxes", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2010 Edition), Edward N. Zalta (ed.), http://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/#GraMil

Сыртқы сілтеме

Зенон парадокстері видео
Ахиль тасбақаға жете алмайды видео
Зенон парадокстері видео
Ахиль және тасбақа видео
Интернет философия энциклопедиясы - Зенон парадокстері ағылшынша
Антиномия ағылшынша
Математикалық философия ағылшынша
Зенон және парадоксті қозғалыс ағылшынша
Зенон және оның парадокстері Мұрағатталған 3 қазанның 2018 жылы. ағылшынша видео

[aristotle-1] Aristotle's Physics Мұрағатталған 6 қаңтардың 2011 жылы. "Physics" by Aristotle translated by R. P. Hardie and R. K. Gaye

[2] Greek text of "Physics" by Aristotle (refer to §4 at the top of the visible screen area). Басты дереккөзінен мұрағатталған 16 мамыр 2008.

[3] ([fragment 65], Diogenes Laertius. IX Мұрағатталған 12 желтоқсанның 2010 жылы. 25ff and VIII 57).

[4] Huggett, Nick Zeno's Paradoxes: 3.1 The Dichotomy. Stanford Encyclopedia of Philosophy (2010). Тексерілді, 7 наурыз 2011.

[5] Math Forum., mathforum.org

[6] Huggett, Nick Zeno's Paradoxes: 3.2 Achilles and the Tortoise. Stanford Encyclopedia of Philosophy (2010). Тексерілді, 7 наурыз 2011.

[7] Laertius Diogenes Pyrrho // Lives and Opinions of Eminent Philosophers — about 230 CE Vol. IX. — ISBN 1-116-71900-2.

[HuggettArrow-8] Huggett, Nick Zeno's Paradoxes: 3.3 The Arrow. Stanford Encyclopedia of Philosophy (2010). Тексерілді, 7 наурыз 2011.

[9] Huggett, Nick, "Zeno's Paradoxes", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2010 Edition), Edward N. Zalta (ed.), http://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/#GraMil

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]