Квадраттық форма

Квадраттық форма — дәрежесі 2-ге тең x₁, x₂, ..., x_n n айнымалыдан тұратын форма, яғни әр мүшесі не осы айнымалылардың біреуінің квадратынан не әр түрлі екі айнымалының көбейтіндісінен тұратын көпмүше. $\,L$ — $\,K$ өрісіндегі векторлық кеңістік және $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$ — $\,L$-дегі базис болса кез келген квадраттық форма былайша жазылады:

$Q(x)=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j},$

мұндағы $x=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\cdots +x_{n}e_{n}$, ал $\,a_{ij}$ — $\,K$ өрісінің кейбір элементтері. Осындай түрдегі $Q:L\to K$ функция квадраттық форма деп атайды.

2, 3 және 4 айнымалыдан тұратын квадраттық формалар 2-ретті сызықтар (жазықтықта) мен беттер (кеңістікте) теориясына тікелей байланысты болып келеді. Декарттық координаттар жүйесінде центрге келтірілген 2-ретті сызықтар мен беттердің теңдеулері мына түрде жазылады: A(x)=1, яғни теңдеудің сол жағы квадраттық форма болады. Егер x₁, x₂, ..., x_n айнымалыларын олардың сызықтық комбинациялары болатын басқа y₁, y₂, ..., y_n айнымалыларымен алмастырсақ, онда квадраттық форма басқа квадраттық формаға ауысады. Квадраттық форманы жаңа айнымалыларды сәйкес түрде таңдап алу жолымен, белгілі санға көбейтілген осы айнымалылардың квадраттарының қосындысы түріне келтіруге болады. Бұл жағдайда, не квадраттардың саны (квадраттық форманың рангісі), не квадраттардың оң және теріс коэффициенттерінің айырмасы (квадраттық форма-ның сигнатурасы) квадраттық форманы квадраттар қосындысына келтіру тәсіліне (инерция заңы) тәуелді болмайды. Көрсетілген формаға арнаулы түрлендіру (ортогональ түрлендіру деп аталатын) арқылы келтіруге болады. Геометриялық тұрғыдан мұндай түрлендіру 2-ретті сызықты не бетті басты осьтерге келтіруге сәйкес келеді.

A=||a_ij|| квадрат матрицамен сипатталады. х айнымалыны кешен коэффицинтті сызықты түрлендіру арқылы квадранттық тұлға мына түрге келтірілуі мүмкін: у₁²+у₂²+...+ y_k²,k≤n.