Үшбұрыш медианасы

Медиана (лат. medіana — орта) — геометрияда үшбұрыштың бір төбесін оған қарсы қабырғасының ортасымен қосатын кесінді. Үшбұрыштың үш медианасы бір нүктеде қиылысады, оны кейде үшбұрыштың ауырлық центрі деп те атайды, өйткені біртекті үшбұрышты пластинканың ауырлық центрі (сондай-ақ үшбұрыштың төбелерінде орналасқан үш бірдей масса жүйесінің ауырлық центрі де) осы нүктеде жатады.

Үшбұрыш және оның медианалары.

Теорема:

Үшбұрыштың медианалары бір нүктеде қиылысады, және сол нүкте оны төбесінен бастап  2:1 қатынасында бөледі. 

Дәлелдеуі: Кез-келген АВС үшбұрышы қарастырылады. Оның АА1 және ВВ1 медианаларының қиылысу нүктесі О деп белгіленіп, үшбұрыштың А1В1 орта сызығы жүргізілді, себебі А1В1 үшбұрыштың 2 қабырғасының ортасы арқылы өтеді (18- сурет қара). Сойтіп, А1В1 мен АВ параллель, және ВВ1 қиюшы түзу бойынша 3 және 4 - айқас бұрыштар тең, ал АА1 қиюшы түзу бойынша 1 және 2 - айқас бұрыштары тең . Осылайша АОВ және А1ОВ1 үшбұрыштары ─ бұрыш бойынша ұқсас үшбұрыштар, яғни олардың қабырғалары проапорционал: АО : А1О = ВО : В1О= АВ : А1В1. Алайда, АВ = 2А1В1, сондықтан АО = 2А1О және ВО = 2В1О. Осылайша, қиылысу О нүктесі АА1 және ВВ1 медианаларын төбесінен бастап 2:1 қатынасында бөледі. ВВ1 және СС1 медианаларының қиылысу нүктесі олардың әрқайсын төбесінен бастап 2:1 қатынасында бөлетіні және осы нүкте О нүктесімен сәйкес келетіні, яғни беттесетіні ұқсас түрде дәлелденеді. Сонымен, үшбұрыштың барлық 3 медианалары бір нүктеде қиылысады, және сол нүкте оны төбесінен бастап 2:1 қатынаста бөледі.