Эйлер формуласы

Эйлер формуласы кешендік экспонентаны тригонометриялық функциямен байланыстырады. Формуланы ойлап тапқан Леонард Эйлер құрметіне осылай аталған.

Эйлер формуласының геометриялық мағынасы

Эйлер формуласы кез келген $x$ кешендік сан (жекеше түрде нақты сан) үшін келесі теңдік орындалады:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$,

мұндағы $e$ — $e=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}$,

$i$ — жорамал бірлік формуласымен анықталатын ең маңызды математикалық тұрақтылардың бірі.

Туынды формулалар

Эйлер формуласының негізінде $\sin$ және $\cos$ функцияларын былай анықтауға болады:

$\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$,

$\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$.

Сосын кешен айнымалы тригонометриялық функцияларды енгізуге болады. $x=iy$ болсын, онда:

$\sin iy={\frac {e^{-y}-e^{y}}{2i}}=i\mathop {\mathrm {sh} } \,y$,

$\cos iy={\frac {e^{-y}+e^{y}}{2}}=\mathop {\mathrm {ch} } \,y$.

Танымал бес негізгі математикалық тұрақтыларды байланыстыратын Эйлер теңдігі:

$e^{i\pi }+1=0$

Эйлер формуласының $x=\pi$ болғандағы жеке түрі болып шығады.