Вариациялық есептеу

Вариациялық есептеу–— математиканың функционалдар экстремумдарын зерттейтін саласы. В. е-дің ең қарапайым есебі мынадай: F(y)=авf(x,y,y,)dx. F(у) функционалы туындысы бар функциялар жиынында әрбір y(x) функциясы үшін анықталған. Берілген F(y) функционалы өзінің ең кіші мәнін қабылдайтын y = y(x) функциясын сол жиыннан табу керек. В. е-дің теориялық негіздері Л. Эйлер мен Ж. Лагранж еңбектерінде қаланды. Олардың зерттеулері нәтижесінде қарапайым есептің шешуі болатын y(x) функциясы: f/y—d/dx(f/y)=0 теңдеуін қанағаттандыруы қажет екендігі анықталды. Соңғы теңдеу Эйлер теңдеуі деп аталады. Кейінгі уақыттарда В. е. идеялары жан-жақты дамыды. F(y) функционалы көп айнымалылы у(х1,..., хn) функцияларының жиынында қарастырылған жағдайда Эйлер теңдеуі дербес туындылы теңдеуге айналады. Қарапайым есептерге қосымша шарттар қою арқылы шартты экстремум есептері пайда болды. Олардың қарапайым түрі — изопериметрлік есеп (мыс., периметрлері бірдей фигуралардың ауданы ең үлкенін табу есебі, т.б.). Шартты экстремум есебінің дамуы нәтижесінде 20 ғ-дың ортасында тиімді басқарудың матем. теориясы дүниеге келді. В. е. теориясының тағы бір даму бағыты — дифференциалдық теңдеулер үшін қойылатын есептерді шешудің вариациялық тәсілі. Бұл тәсіл белгілі бір функционал үшін Эйлер теңдеуі болатын дербес туындылы теңдеуді шешуге қолданылады. Мұндай теңдеудің шешімі сәйкес функционалдың минимумын тура табу нәтижесінде анықталады. Сондықтан бұл тура табу тәсілі деп аталады. Ал ол қолданылатын есептер матем. анализдің көлемді бір тарауын құрайды. Республикада өз зерттеулерінде вариациялық тәсілді шекаралық есептерге алғаш рет 1950 — 60 ж. Т. Аманов, Қ. Наурызбаев, Е.Смайылов, т.б. қолданды. Кейінгі кезде В. е. тәсілдерін пайдаланған ғыл.-зерт. жұмыстарының ауқымы кеңеюде.