Векторлық диаграммалар тәсілі

Гармоникалық тербелістерді көрнекті түрде кескіндеу үшін векторлық диаграммалар тәсілі қолданылады. Қандай да бір физикалық шаманың тербелістері $x=A\cos(\omega _{0}\cdot t+\phi _{0})$ теңдеуімен берілсін.

Өзара перпендикуляр - горизонталь және вертикаль - екі ось жүргізейік. О нүктесінен қандай да бір таңдап алынған масштабпен тербеліс амплитудасын А векторы түрінде горизонталь оське $\phi =\omega _{0}\cdot t+\phi _{0}$ бүрышпен салайық. А векторы сағат тіліне қарама-қарсы бағытта сурет жазықтығына перпендикуляр өтетін Оу осінен $\omega _{0}$ бұрыштық жылдамдықпен айналып тұрсын. Онда $\phi$ бұрышы уаұытқа тәуелді сызықтық түрде өседі.

${\vec {A}}$векторының горизонталь оське проекциясы: $x=A\cos(\omega _{0}\cdot t+\phi _{0})=A\cos \phi$.

Бұл теңдеу тербелістегі х шамасының берілген уақыт мезетіндегі мәнін анықтайды. Механикалық тербелістерде осы шама ығысуды, ал электромагниттік тербелістерде заряд шамасын береді.

Қандай да бір шаманың уақыт бойынша бірінші туындысы сол шаманың өзгеріс жылдамдығына тең. (Серіппелі маятникте бұл жүктің қозғалыс жылдамдығы х = v, ал тербелмелі контурда зарядтың өзгеріс жылдамдығы, яғни ток күші і =q'.) Сонымен, біз жылдамдықтың гармоникалық тербелісінің теңдеуін алдық:

$x'=A\omega _{0}\cos(\omega _{0}\cdot t+\phi _{0}+\left({\frac {\pi }{2}}\right))$.

Бұл тербелістің амплитудасы $x'=A\omega _{0}$-ге тең. Оны векторлық диаграммаға горизонталь осьпен $(\omega _{0}\cdot t+\phi _{0}+\left({\frac {\pi }{2}}\right))$ бұрыш жасайтын вектор түрінде салайық. ${\vec {A}}$ және ${\vec {A}}\omega _{0}$ векторларының арасындағы бұрыш ${\frac {\pi }{2}}$-ге тең. ${\vec {A}}\omega _{0}$ векторының горизонталь оське проекциясы берілген уақыт мезетіндегі жылдамдыққа (ток күшіне) тең.

$x=A\cos(\omega _{0}\cdot t+\phi _{0})$ мен $x'=A\omega _{0}\cos(\omega _{0}\cdot t+\phi _{0}+\left({\frac {\pi }{2}}\right))$ теңдеулерін салыстыра отырып, екі тербелістің фазалар айырымы ${\frac {\pi }{2}}$-ге тең екенін көреміз. Екінші туынды х" (яғни жылдамдықтың не ток күшінің бірінші туындысы) механикалық тербелістерде үдеуге, электромагниттік тербелістерде ток күшінің өзгеріс жылдамдығына тең.

$x''=-A\omega _{0}^{2}\cos(\omega _{0}\cdot t+\phi _{0}$ немесе $x''=-A\omega _{0}^{2}\cos(\omega _{0}\cdot t+\phi _{0}+\pi )$.

$A\omega _{0}^{2}$ амплитуданы да векторлық диаграммаға салайық. ${\vec {A}}$ және ${\vec {A}}\omega _{0}^{2}$ векторларының арасындағы бұрыш $\pi$, бұл $x=A\cos(\omega _{0}\cdot t+\phi _{0})$ және $x''=-A\omega _{0}^{2}\cos(\omega _{0}\cdot t+\phi _{0}+\pi )$ тербелістерінің фазалар айырымына тең.

Диаграммаға салынған амплитудалардың бәрі сағат тілінің бағытына қарама-қарсы $\omega _{0}$ бүрыштык жылдамдықпен айналады. Олардың арасындағы бұрыштар уақытқа қатысты өзгермей, сәйкес тербелістердің фазалар айырымына тең болып қала береді.

Сонымен, векторлық диаграммада гармоникалық тербелетін шамалар және олардың тербеліс фазаларының айырымдары көрнекі түрде кескінделеді. Мысалы, диаграммадан ығысу х пен үдеу х" нөлге теңелгенде (${\vec {A}}$ мен ${\vec {A}}\omega _{0}^{2}$ векторлары вертикаль осьтің бойымен бағытталғанда), жылдамдықтың х' максимал мәнге жететінін көруге болады. Ал жылдамдық х' = 0 болғанда, ығысу х пен үдеу х" ең үлкен мәнін алады.