Векторлық көбейтінді

$\mathbf {a}$ векторы мен $\mathbf {b}$ векторының $\mathbb {R} ^{3}$ кеңістігіндегі векторлық көбейтіндісі деп келесі шарттарды қанағаттандарытын $\mathbf {c}$ векторын айтады:

• $\mathbf {c}$ векторының ұзындығы $\mathbf {a}$ және $\mathbf {b}$ векторларының ұзындықтарының және олардың арасындағы $\varphi$ бұрышының синусының көбейтіндісіне тең: $\left|\mathbf {c} \right|=\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|\sin \varphi$;
• $\mathbf {c}$ векторы әр $\mathbf {a}$ және $\mathbf {b}$ векторларына ортогональ ;
• $\mathbf {c}$ векторыны $\mathbf {abc}$ векторлар үштігі оң болатындай бағытталған;
• $\mathbb {R} ^{7}$ кеңістігі үшін $\mathbf {a,b,c}$ векторлар үштігінің ассоциативтігі орындалу қажет.

Векторлық көбейтінді үшөлшемді кеңістікте.

Белгілеуі:

$\mathbf {c} =\left[\mathbf {a} \mathbf {b} \right]=\left[\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} \right]=\mathbf {a} \times \mathbf {b}$

Векторлық көбейтіндіні алғаш рет 1846 жылы енгізген — У. Гамильтон.

Оң қол ережесімен векторлық көбейтінді бағытын анықтау

Қасиеттері

Геометриялық қасиеттері

1 сурет: Параллелограмм ауданы векторлық көбейдінді модуліне тең.

2 сурет: Параллелепипед көлемін есептеудегі векторлардың векторлық және скаляр көбейтінділері; пунктир сызықтар c векторының a × bвекторына және a-ның b × c векторына проекцияларын көрсетеді, алдымен скаляр көбейтінділерді есептейді.

• Екі нөлдік емес векторлардың коллинеарлығы үшін олардың векторлық көбейтіндісінің нөл болуы қажет және жеткілікті.
• Векторлық көбейтінді $[\mathbf {ab} ]$ модулі ортақ нүктеге келтірілген $\mathbf {a}$ және $\mathbf {b}$ (1 суретті қара) векторларымен тұрғызылған параллелограммның $S$ ауданына тең
• Егер$\mathbf {e}$ — $\mathbf {a}$ және $\mathbf {b}$ векторларына ортогональ бірлік вектор болса, ал $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {e}$ — оң үштік, $S$ — $\mathbf {a}$ және $\mathbf {b}$ векторларымен тұрғызылған параллелограмм болса, онда келесі формула орындалады:

$[\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]=S\,\mathbf {e}$

• Егер $\mathbf {c}$ — кез келген вектор, $\pi$ — осы вектор жатқан кез келген жазықтық, $\mathbf {e}$ — осы жазықтықтағы бірлік вектор және бірлік вектор $\mathbf {c}$ векторына ортогональ, $\mathbf {g}$ — $\pi$ жазықтығына ортогональ бірлік вектор және $\mathbf {ecg}$ үштік векторлары оң болса, онда $\pi$ жазықтығында жатқан кез келген $\mathbf {a}$ векторы үшін келесі өрнек орындалады

$\left[\mathbf {a} ,\;\mathbf {c} \right]=\mathrm {Pr} _{\mathbf {e} }\,\mathbf {a} \left|\mathbf {c} \right|\mathbf {g} .$

• Векторлық және скаляр көбейтінділерді пайдалан отырып a, b және c векторларымен тұрғызылған (бір нүктеге келтіріліп, 2 суретті қара) параллелепипед көлемін есептеуге болады . Бұндай үш вектор көбейтіндісін аралас деп атайды.

$V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|.$

Суретте көрсетілгендей көлем екі әдіспен есептеледі: геометриялық нәтижесі тіпті «скаляр» және «векторлық» көбейткіштерді орындарымен ауыстырғаннан да өзгермейді:

$V=\mathbf {a\times b\cdot c} =\mathbf {a\cdot b\times c} \ .$

Алгебралық қасиеттері

Өрнектері	Сипаттамасы
$\left[\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} \right]=-\left[\mathbf {b} ,\mathbf {a} \right]$	Антикоммутативтілік қасиеті
$\left[\left(\alpha \mathbf {a} \right),\;\mathbf {b} \right]=\left[\mathbf {a} ,\;\left(\alpha \mathbf {b} \right)\right]=\alpha \left[\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} \right]$	скалярға көбейтуге қатысты ассоциативтілік қасиеті
$\left[\left(\mathbf {a} +\mathbf {b} \right),\;\mathbf {c} \right]=\left[\mathbf {a} ,\;\mathbf {c} \right]+\left[\mathbf {b} ,\;\mathbf {c} \right]$	қосу бойынша дистрибутивтілік қасиеті
$\left[\left[\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} \right],\;\mathbf {c} \right]+\left[\left[\mathbf {b} ,\;\mathbf {c} \right],\;\mathbf {a} \right]+\left[\left[\mathbf {c} ,\mathbf {a} \right],\;\mathbf {b} \right]=0$	тождество Якоби, выполняется в $\mathbb {R} ^{3}$ и нарушается в $\mathbb {R} ^{7}$
$\left[\mathbf {a} ,\;\mathbf {a} \right]=\mathbf {0}$
$\left[\mathbf {a} ,\;[\mathbf {b} ,\;\mathbf {c} ]\right]~=~\mathbf {b} (\mathbf {a} ,\;\mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} )$	«БАЦ минус ЦАБ» формуласы, Лагранж теңдігі
$|[\mathbf {a} ,\,\mathbf {b} ]|^{2}+(\mathbf {a} ,\,\mathbf {b} )^{2}=|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}$	кватерниондар нормасының $|\mathbf {vw} |=|\mathbf {v} ||\mathbf {w} |$ мультипликативтілік жекеше түрі
$([\mathbf {a} ,\,\mathbf {b} ],\,\mathbf {c} )=(\mathbf {a} ,\,[\mathbf {b} ,\,\mathbf {c} ])$	бұл өрнек мәнін $a$, $b$, $c$ векторлардың аралас көбейтіндісі деп атайды, $(a,\,b,\,c)$ немесе $\langle a,\,b,\,c\rangle$ деп белгілейді

Декарттық координаттардағы өрнектелулері

Егер екі $\mathbf {a}$ және $\mathbf {b}$ векторлары өз тікбұрышты декарттық координаттарымен анықталған болса, дәлірек айтқанда — ортокелтірілген базисте

$\mathbf {a} =(a_{x},\;a_{y},\;a_{z})$

$\mathbf {b} =(b_{x},\;b_{y},\;b_{z})$

ал координаттар жүйесі оң болса, онда олардың векторлық көбейтіндісі былай өрнектеледі

$[\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y},\;a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z},\;a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}).$

Формуланы жаттау үшін матрица анықтауышын пайдаланған жөн:

$[\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}$

немесе

$[\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]_{i}=\sum _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k},$

мұндағы$\varepsilon _{ijk}$ — Леви-Чивит белгісі.

Егер координаттар жүйесі теріс болса, онда

$[\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]=(a_{z}b_{y}-a_{y}b_{z},\;a_{x}b_{z}-a_{z}b_{x},\;a_{y}b_{x}-a_{x}b_{y}).$

Жаттау үшін дәл солай:

$[\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]=-{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}$

немесе

$[\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]_{i}=-\sum _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}.$