Векторлық көбейтінді

векторы мен векторының кеңістігіндегі векторлық көбейтіндісі деп келесі шарттарды қанағаттандарытын векторын айтады:

  • векторының ұзындығы және векторларының ұзындықтарының және олардың арасындағы бұрышының синусының көбейтіндісіне тең: ;
  • векторы әр және векторларына ортогональ ;
  • векторыны векторлар үштігі оң болатындай бағытталған;
  • кеңістігі үшін векторлар үштігінің ассоциативтігі орындалу қажет.
Векторлық көбейтінді үшөлшемді кеңістікте.

Белгілеуі:

Векторлық көбейтіндіні алғаш рет 1846 жылы енгізген — У. Гамильтон.[1]

Оң қол ережесімен векторлық көбейтінді бағытын анықтау

ҚасиеттеріӨңдеу

Геометриялық қасиеттеріӨңдеу

 
1 сурет: Параллелограмм ауданы векторлық көбейдінді модуліне тең.
 
2 сурет: Параллелепипед көлемін есептеудегі векторлардың векторлық және скаляр көбейтінділері; пунктир сызықтар c векторының a × bвекторына және a-ның b × c векторына проекцияларын көрсетеді, алдымен скаляр көбейтінділерді есептейді.
  • Екі нөлдік емес векторлардың коллинеарлығы үшін олардың векторлық көбейтіндісінің нөл болуы қажет және жеткілікті.
  • Векторлық көбейтінді   модулі ортақ нүктеге келтірілген   және   (1 суретті қара) векторларымен тұрғызылған параллелограммның   ауданына тең
  • Егер  —   және   векторларына ортогональ бірлік вектор болса, ал   — оң үштік,   —   және   векторларымен тұрғызылған параллелограмм болса, онда келесі формула орындалады:
 
  • Егер   — кез келген вектор,   — осы вектор жатқан кез келген жазықтық,   — осы жазықтықтағы бірлік вектор және бірлік вектор   векторына ортогональ,   —   жазықтығына ортогональ бірлік вектор және   үштік векторлары оң болса, онда   жазықтығында жатқан кез келген   векторы үшін келесі өрнек орындалады
 
  • Векторлық және скаляр көбейтінділерді пайдалан отырып a, b және c векторларымен тұрғызылған (бір нүктеге келтіріліп, 2 суретті қара) параллелепипед көлемін есептеуге болады . Бұндай үш вектор көбейтіндісін аралас деп атайды.
 

Суретте көрсетілгендей көлем екі әдіспен есептеледі: геометриялық нәтижесі тіпті «скаляр» және «векторлық» көбейткіштерді орындарымен ауыстырғаннан да өзгермейді:

 

Алгебралық қасиеттеріӨңдеу

Өрнектері Сипаттамасы
  Антикоммутативтілік қасиеті
  скалярға көбейтуге қатысты ассоциативтілік қасиеті
  қосу бойынша дистрибутивтілік қасиеті
  тождество Якоби, выполняется в   и нарушается в  
 
  «БАЦ минус ЦАБ» формуласы, Лагранж теңдігі
  кватерниондар нормасының   мультипликативтілік жекеше түрі
  бұл өрнек мәнін  ,  ,   векторлардың аралас көбейтіндісі деп атайды,   немесе   деп белгілейді

Декарттық координаттардағы өрнектелулеріӨңдеу

Егер екі   және   векторлары өз тікбұрышты декарттық координаттарымен анықталған болса, дәлірек айтқанда — ортокелтірілген базисте

 
 

ал координаттар жүйесі оң болса, онда олардың векторлық көбейтіндісі былай өрнектеледі

 

Формуланы жаттау үшін матрица анықтауышын пайдаланған жөн:

 

немесе

 

мұндағы  — Леви-Чивит белгісі.

Егер координаттар жүйесі теріс болса, онда

 

Жаттау үшін дәл солай:

 

немесе

 

ДереккөздерӨңдеу

  1. Crowe M. J. A History of Vector Analysis – The Evolution of the Idea of a Vectorial System — 1994. — Б. 32. — ISBN 0486679101.