Геометриялық прогрессия

Геометриялық прогрессия — әрбір мүшесі (екіншісінен бастап) алдыңғы мүшесінен қандай да бір еселік деп аталатын тұрақты санға ($q\not =0$) көбейтуден шығатын сан қатары : $b_{1},\ b_{2}=b_{1}q,\ b_{3}=b_{2}q,\ \ldots ,\ b_{n}=b_{n-1}q$. Геометриялық Прогрессия q>1 болса, өспелі Геометриялық Прогрессия, 0<q<1 болса, кемімелі Геометриялық Прогрессия, ал q<0 болса, ауыспа таңбалы Геометриялық Прогрессия деп аталады. Геометриялық Прогрессияның кез келген мүшесі (b_k) бірінші мүшесі (b₁) мен еселігі (q) арқылы мына формуладан табылады: : $b_{n}=b_{1}q^{n-1}\quad$. Ал Геометриялық Прогрессияның (еселігі 1-ге тең емес) алғашқы n мүшесінің қосындысы (S_n) мына формула бойынша анықталады:

• $S_{n}={\begin{cases}\sum _{i=1}^{n}b_{i}={\frac {b_{1}-b_{1}q^{n}}{1-q}}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}},&{\mbox{if }}q\neq 1\\nb_{1},&{\mbox{if }}q=1\end{cases}}$

Егер |q|<1 болса, және мүше саны (n) шексіз өссе, онда Sn қосындысы шегіне ұмтылады. Осы S саны шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның қосындысы деп аталады. а1+а1q+...+а1qn+... (|q|<1 болғанда) өрнегі геометриялық қатар деп аталатын жинақты қатардың қарапайым мысалы болып есептеледі. Мұндай геометриялық қатардың қосындысы мынаған тең:

• $S_{n}\to {b_{1} \over 1-q}$ егер $n\to +\infty$ . Оң мүшелерден тұратын Геометриялық Прогрессияның кез келген мүшесінің мынадай қасиеті бар: .

Дереккөздер

“Қазақ Энциклопедиясы”, 2-том