Еркін электромагниттік тербелістерді сипаттайтын теңдеу

Еркін электромагниттік тербелістерді сипаттайтын теңдеу - Біз қарастырған тербелмелі контурда электромагниттік тербелістер алу үшін алғашқы t₀=0 уақыт мезетінде конденсаторға q_m заряд берілді де, бұдан соң жүйеге сырттан ешқандай әрекет болған жоқ. Сыртқы әрекет жоқ кезде пайда болатын тербелістерді еркін тербелістер деп атайды.

Идеал тербелмелі контурдағы (R =0) еркін электромагниттік тербелістердің теңдеуін қорытып шығарайық. Идеал тербелмелі контурда толық электромагниттік энергия сақталады, яғни

$W={\frac {Li^{2}}{2}}+{\frac {q^{2}}{2C}}=const$

Осы өрнектен уақыт бойынша туынды алайық. Тұрақты шаманың туындысы нөлге тең болғандықтан:

$({\frac {Li^{2}}{2}})'+({\frac {q^{2}}{2C}})'=0$

Кез келген шаманың уақыт бойынша туындысы оның өзгеріс жылдамдығын анықтайды. Олай болса, соңғы өрнектен магнит өрісі энергиясының өсу жылдамдығы электр өрісі энергиясының кему жылдамдығына тең екенін көреміз:

${Li}\cdot (i)'+{\frac {qq'}{2C}}=0$.

Ток күшінің анықтамасынан:

Құрылымын талдатуы сәтсіз бітті (сөйлем жүйесінің қатесі): {\displaystyle \lim^\infty_{Δt→0} \frac{Δq}{Δt}=(q)' } , олай болса

${Li}\cdot (i)'+{\frac {qi}{2C}}=0$ бұдан  : ${L}\cdot (i)'=-{\frac {q}{2C}}$.

Ток күшінің уақыт бойынша туындысын табайық: :$i'=(q)'=q''$ соңғы өрнекті қойсақ,  :${Lq''}=-{\frac {q}{C}}$ аламыз. Өрнегі конденсатордың астарларындағы, заряд тербелістерінің дифференциалдық теңдеуі болып табылады.

Енді бізге осы теңдеуді шешіп, зарядтың уақытқа тәуелділік теңдеуін анықтау керек. Ол үшін мынадай белгілеу енгізейік: $\omega ^{2}=-{\frac {1}{LC}}$. Сонда теңдеуі $q''={-\omega ^{2}}\cdot q$

түріне енеді. Теңдеулерінен зарядтың уақыт бойынша екінші туындысы кері таңбамен алынған зарядтың өзіне тура пропорционал екенін көреміз. Математика курсынан мұндай қасиет тек синус немесе косинус функциясына ғана тән екені белгілі. Бұдан конденсатордың астарларындағы заряд уақытқа тәуелді синус не косинус заңымен өзгереді деген қорытынды жасауға болады. Конденсатордың астарларындағы зарядтың максимал мәні qm, ал косинус пен синус функцияларының кабылдайтын ең үлкен мәні бірге тең екенін ескерсек, тендеуінің шешімі q_m мен косинустың (немесе синустың) көбейтіндісі түрінде жазылуы керек.

Енді косинустың аргументін анықтайық. Аргумент тек уақытқа ғана тең деп алсақ: $q=q_{m}\cdot \cos t$, бұдан $q'=-q_{m}\cdot \sin t$. $q''=-(q_{m}\cdot \sin t)'=-q_{m}\cdot \cos t=-q$, яғни q=-q. Мұны салыстырсақ, $\omega ^{2}$-тың формулаға кірмей қалғанын көреміз.

Сонымен, тербелмелі контурда конденсатордың астарларындағы заряд шамасы уакытқа тәуелді косинус заңы бойынша өзгереді. Бұл тәуелділіктің математикалық өрнегі: $q=-(q_{m}\cdot \cos \omega _{0}\cdot t)'$.

Жалпы жағдайда бұл теңдеу

$q=-(q_{m}\cdot \cos \omega _{0}\cdot t+\phi _{0})'$түрінде жазылады. Мұндағы (φ₀— бастапқы фаза деп аталады.

Физикалық шаманың синус немесе косинус заңы бойытша өтетін уақытқа тәуелді периодты өзгерісі гармоникалық тербелістер деп аталады.

Тербелістегі шаманың ең улкен мәнінің модулі тербеліс амплитудасы деп аталады. Механикалық тербелістерде амплитуда дененің тепе-теңдік күйінен ең үлкен ауытқуына, ал электромагниттік тербелістерде—конденсатор астарларындағы электр зарядының ең үлкен мәніне (q_m тең. Амплитуда тербелістің бастапқы шарттарына тәуелді.

Тербелістегі физикалық шаманың мәні қайталанып келетін ең аз уақыт аралығын Т тербеліс периоды деп атайды. Осыған пара-пар мынадай анықтама беруге болады: тербелмелі жуйенің толық бір тербеліс жасауына кеткен уақыт тербеліс периоды деп аталады. Бұл екі анықтамадан тербеліс периоды SI жүйесінде секундпен өлшенетінін көреміз.

Периодпен тағы бір маңызды шама — тербеліс жиілігі v бір мәнді байланысқан. Тербеліс жиілігі деп бірлік уақыт ішіндегі тербеліс санына тең шаманы айтады. Тербеліс периоды мен жиілігінің арасындағы байланыс:

$\nu ={\frac {1}{T}}$

SI жүйесіндегі жиіліктің өлшем бірлігі неміс физигі Г. Герцтің құрметіне 1 Гц (герц) деп аталады. Егер бір секундта бір тербеліс жасалса, жиілік 1 Гц-ке тең болады, яғни 1 Гц =1 с⁻¹ . Теңдеуінен конденсатор астарларындағы зарядтың тербеліс периоды косинустың периодымен анықталынатыны көрініп тұр. Математика курсынан косинустың ең кіші периоды 2π екенін білеміз. Олай болса, t=T уақыт өткенде косинустың Tаргументі ω₀T = 2π мәнін қабылдайды. Бұдан

$T={\frac {2\pi }{\omega }}={\frac {1}{\nu }}$

Мұндағы 2π секундтағы тербеліс санына тең ω₀ = 2πν шамасын, яғни меніиікті циклдік жиілікті (дөңгелек жиілік) өрнегінен анықтаймыз:

$\omega _{h}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$

Меншікті циклдік жиілік тербелмелі контурдың параметрлері — индуктивтік және сыйымдылық арқылы сипатталады.

$T=2\pi \cdot {\sqrt {LC}}$

аламыз. Бұл — идеал тербелмелі контурдағы еркін тербелістердің периодын анықтайтын Томсон формуласы. Формуладан контурдың индуктивтігі мен сыйымдылығы артқан сайын тербеліс периодының да артатыны көрініп тұр. Оның себебі индуктивтік неғұрлым үлкен болса, контурдағы ток күші соғұрлым баяу өзгереді, ал сыйымдылық неғұрлым үлкен болса, конденсатордың қайта зарядталуы соғұрлым ұзақ уақытқа созылады.

Тербелмелі контурдағы электромагниттік тербелістердің периоды секундтың мыңдық бөлігінен миллиондық бөлігіне дейінгі мәндерге ие болатын өте аз шама, соған сәйкес жиілік (бірнеше миллион герц) өте үлкен шама. Сонымен, тербелмелі контурда жоғары жиіліктегі электромагниттік тербелістер өндіріледі.

$q=-(q_{m}\cdot \cos \omega _{0}\cdot t+\phi _{0})'$ теңдеуіне сәйкес заряд тербелістерінің амплитудасы уақыттың өтуімен өзгермейді, яғни тербелістер өшпейтін тербелістер. Бірақ кез келген нақты тербелмелі контурдағы тербелістер ешеді. Себебі : $q=-(q_{m}\cdot \cos \omega _{0}\cdot t+\phi _{0})'$ теңдеуін қорытып шығарғанда контурдың кедергісі ескерілмеді.

Ал, шындығында R Ф 0. Кедергі неғұрлым үлкен болса, энергия шығыны Q = I²RAt соғұрлым көп. Тербеліс энергиясы біртіндеп жылу энергиясына айналып, тербеліс амплитудасы кеми береді. Кедергі артқан сайын тербеліс периоды да артады. Анығырақ айтқанда, өшетін тербелістер гармоникалық болмайды.

Тербеліс фазасы (:$\phi =\omega \cdot t+\phi _{0}$) деп косинустың (немесе синустың) аргументін айтады. Ол тербелістегі шаманың берілген уақыт мезетіндегі сандық мәнін дәл анықтауға мүмкіндік береді.