Ең үлкен ортақ бөлгіш

Ең үлкен ортақ бөлгіш, екі не бірнеше натурал санның – берілген сандардың әрқайсысы бөлінетін үлкен сан. Мысалы, 27 және 63 сандарының Ең үлкен ортақ бөлгіші 9 болса, 12, 32 және 60 сандарының Ең үлкен ортақ бөлгіші 4 болады. Ең үлкен ортақ бөлгіш бөлшектерді қысқарту кезінде пайдаланылады. Бұл ретте бөлшектің алымы да, бөлімі де қысқаратын ең үлкен сан Ең үлкен ортақ бөлгіш болып саналады. Егер берілген сандардың жай көбейткіштерге жіктелуі белгілі болса, онда ол сандардың Ең үлкен ортақ бөлгішін табу үшін, барлық жіктелуде кездесетін әрбір көбейткішті ең кіші рет алып көбейту керек. Жалпы жағдайда, екі санның Ең үлкен ортақ бөлгішін табу үшін Евклид алгоритмі пайдаланылады. Егер екі санның Ең үлкен ортақ бөлгіші бірге тең болса, онда ол сандар өзара жай сандар делінеді. а және b екі санның Ең үлкен ортақ бөлгіші (d) сол сандардың ең кіші ортақ еселігі m-мен мынадай қатынас арқылы байланысқан: dm=ab. Ең үлкен ортақ бөлгіш ұғымы сандарға ғана емес, екі не бірнеше көпмүшелікке де қолданылады. Бұл жағдайда екі не бірнеше көпмүшеліктің Ең үлкен ортақ бөлгіші, олардың әрқайсысы бөлінетін, дәрежесі ең жоғары көпмүшелік болады.

m және n сандарының Ең үлкен ортақ бөлгіші келесідегідей белгіленуі мүмкін:

• ЕҮОБ(m,n)
• $(m,n)$
• $\mathrm {gcd} (m,n)$ (ағыл. Greatest Common Divisor)
• $\mathrm {hcf} (m,n)$ (брит. ағыл. Highest Common Factor)

ЕҮОБ -ің табу жолы

18 санының бөлгіштері: 1, 2, 3, 6, 9, 18; 30 санының бөлгіштері: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

Демек, 18 жөне 30 сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші 6 саны. Жазылуы: ЕҮОБ(18, 30) = 6 Берілген натурал сандардың ең үлкен ортақ бөлгіші деп сол сандардың әрқайсысы бөлінетін ең үлкен натурал санды айтады.

1-мысал. 8, 14 және 22 сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін табайық.

Шешуі.

8 санының бөлгіштері: 1, 2, 4, 8;

14 санының бөлгіштері: 1, 2, 7, 14;

22 санының бөлгіштері: 1, 2, 11, 22.

8, 14 және 22 сандарының ортақ бөлгіштері: 1 және 2.

Ең үлкен ортақ бөлгіші - 2 саны.

ЕҮОБ (8, 14, 22)=2.

2-мысал. 25 пен 12 сандарының ең үлкен ортақ белгішін табайық.

Шешуі.

25 санының бөлгіштері: 1, 5, 25.

12 санының бөлгіштері: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

25 пен 12 сандарының ортақ бөлгіші бір ғана сан - 1 саны.

Ең үлкен ортақ бөлгіші 1-ге тең натурал сандар өзара жай сандар деп аталады.

Мысалы, 7 мен 11; 8 бен 15, 4 пен 19 сандары - өзара жай сандар.

3-мысал. 120, 40 жөне 20 сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін табайық.

Шешуі.

Берілген 120, 40 және 20 натурал сандарының ең кішісі 20 саны. 20 санына 120, 40 сандары бөлінеді. Сонда 20 саны - 120, 40 жөне 20 сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші.

ЕҮОБ (120, 40, 20)=20.

Егер берілген сандардың ең кішісі үлкендерінің бөлгіші болса, онда сол ең кіші сан берілген сандардың ең үлкен ортақ бөлгіші болады.

Берілген сандардың ең үлкен ортақ бөлгішін сол сандарды жай көбейткіштерге жіктеу арқылы табуға болады.

Ол үшін:

1 ) берілген сандарды жай көбейткіштерге жіктеу керек;

2) жіктеулердегі барлық ортақ жай көбейткіштерді табу керек;

3) ортақ жай көбейткіштердің көбейтіндісін табу керек.

Берілген сандардың ең үлкен ортақ бөлгіші сол сандардың жіктелуіндегі ортақ жай көбейткіштердің көбейтіндісіне тең.

4-мысал. 18, 24 жөне 36 сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін берілген сандарды жай көбейткіштерге жіктеу арқылы табайық.

18 = 2 *3 * 3 66= 2*3*11 330 = 2*3*5 * 11

Берілген сандардың жіктелуіндегі ортақ жай көбейткіштер: 2 және 3 сандары, ал 2*3=6.

Онда ЕҮОБ (18, 66, 330)=6.

5-мысал. ЕКОЕ(a, b) берілген жағдайда да, өзінің шешу амалы бар. Мына формула қолданғанымен, бұндай есептің түрін шағатын боласыз:

$\gcd(a,b)={\frac {|a\cdot b|}{\operatorname {lgm} (a,b)}}$

Сілтемелер

Қазақ энциклопедиясы III тарау