Йенсен теңсіздігі


Йе́нсен теңсіздігідөңес функция анықтамаларымен тығыз байланыстағы Иоган Йенсен енгізген теңсіздік.

Йенсен теңсіздігі дөңес функция графигінің қиюшысы графиктен жоғары жатады деген ақиқаттың жалпыламасы болып табылады.

Шекті жағдайдағы тұжырымдамасыӨңдеу

Функция   белгілі бір   аралықта дөңес болсын және   сандары үшін   және   болсын. Онда   сандарының   аралығында кез келген мәндері үшін мына теңдік орындалады:

 

немесе

 .

Ескерту:

  • Егер   функциясы ойыс(жоғарға дөңес), онда теңсіздік белгісі керісінше болады.
  • Иоган Йенсен өзі ең жеке жағдайдан, дәлірек айтқанда
 , бұл мына жағдайға сәйкес келеді  .

ДәлелдеуӨңдеу

Математикалық индукция тәсілімен дәлелдейік.

  •   жағдайында неңсіздік дөңес функция анықтамасынан шығады.
  • Жорамал: теңсіздік қандай да бір натурал сан   үшін орындалсын, сонда ол   үшін де орындалатынын дәлелдейік, яғни
 .

Осы мақсатпен сол жақтағы соңғы екі қосылғышты   бір қосылғышпен алмастырайық

 ;

бұл   жағдайындағы теңсіздікті пайдалануға мүмкіндік береді, яғни жоғарыдағы қосынды мына қосындыдан аспайды

 .

Функция мәніне соңғы қосылғышқа   үшін теңсіздікті пайдалану ғана қалды. Осылайша математикалық индукция тәсілі бойынша Йенсен теңсіздігі толықтай дәлелденді.

Жеке түрлері немесе салдарыӨңдеу

Гёльдер теңсіздігіӨңдеу

  •   болсын, мұндағы     (дөңес функция). Онда
 ,        және  

  деп белгілейңк, мұндағы  - кез келген оң сандар, онда тогда теңсіздік былай жазыла алады

 .

Мұнда   мынаған   ал   мынаған   алмастырсақ, белгілі Гёльдер теңсіздігін шығарамыз:

 .

Коши теңсіздігіӨңдеу

  •   (ойыс функция) болсын. Онда
 , немесе  , онда  .

Жеке түрі   болғанда Коши теңсіздігі шығады (геометриялық орташа арифметикалық орташадан аспайды)

 

Гармоникалық орташа мен геометриялық орташа арасындағы теңсіздікӨңдеу

  •   (дөңес функция) болсын. Онда
 .   қойсақ, табатынымыз
  (Гармоникалық орташа геометриялық орташадан аспайды)

Гармоникалық орташа мен арифметикалық орташа арасындағы теңсіздікӨңдеу

  •   (дөңес функция) болсын. Онда  

Жеке түрі   болғанда шығатыны гармоникалық орташа арифметикалық орташадан аспайтыны:

 

Гиббс теңсіздігіӨңдеу

Рао — Блекуэлл — Колмогоров теоремасыӨңдеу

Интегралдық тұжырымдамасыӨңдеу

  дөңес функция және интегралданатын   функциясы үшін

  орындалады


Тағы қараңызӨңдеу