Квадраттық түбір
Нақты сандар
өңдеуБарлық рационал және иррационал сандар нақты сандар жиынын құрайды. [1]
Рационал сан
өңдеу(латынша - «рационалис» - «ақылмен ойлаған», «ақылмен белгілерген») – бөлшегі түрінде өрнектеле алатын сан, мұндағы және бүтін сандар және (бөлшектің бөлімі нөлге тең емес!). Егер теңдігі тура болса, онда және бөлшектері тең рационал сандар дейді. [2]
Иррационал сан
өңдеуИррационал сан — (латынша "иррационалис" — ақылға сыйымсыз, ақылға қонбайтын, — "емес", яғни кері мағына шығару үшін қолданылатын қосымша және "рацо" — есептеу, қатынас деген сөз) — рационал (яғни, бүтін немесе бөлшек) сан болмайтын сан. Нақты иррационал сан шектеусіз периодсыз ондық бөлшек болады.
- Мысалы,
Иррационал сандар рационал емес алгебралық санға және трансценденттік санға ажыратылады. [3]
Кез келген шексіз периодты емес ондық бөлшек иррационал сан деп аталады. [4]
Көбейтудің дербес жағдайы санды дәрежеге шығару амалы дәреже көрсеткіші бөлшек сан болғанда орындала бермейтіні белгілі. Мұның ең қарапайым түрі — рационал санның квадраты емес оң саннан квадраттық түбір табу, немесе теңдеуін жалпы түрде шешу рационал сандар жиынында мүмкін болмады. Мысалы, теңдеуінің түбірлері ( параболасы мен түзуінің қиылысу нүктелерінің абсциссалары) және рационал сандар емес, иррационал сандар. [5]
Квадрат түбірдің анықтамасы
өңдеуМысалы, егер кез келген санына санын қосып, одан кейін санын азайтсақ , онда саны езгеріссіз қалады немесе амалдардың ретін ауыстырсақ, аламыз. Тура осылай, өзара кері көбейту және бөлу амалдарының дұрыс орындалғанын тексеруге болады, яғни немесе , мұндағы Сонда "Дәрежеге шығару амалына кері амал бар ма?" деген сұрақ туындайды. екені белгілі. Бұл жазудағы — дәреже, — дәреженің негізі, — дәреженің көрсеткіші. Мұнда санның негізі жөне көрсеткіші ) арқылы дәреженің мәні есептелген. Ал берілген дәреженің мәні мен көрсеткіші бойынша дәреженің негізін табуды түбір шығару деп атайды.
Теріс емес санының квадрат түбірі деп квадраты -ға тең санын атайды.
Мысалы, санының квадрат түбірі және , өйткені және
Түбірдің оң мәнін арифметикалық квадрат түбір деп атайды.
Қарастырылған мысалда саны арифметикалық квадрат түбірді береді.
Квадраты -ға тең кез келген теріс емес саны теріс емес санының арифметпикалық квадрат түбірі деп аталады.
санынан алынған арифметикальқ квадрат түбір деп белгіленеді. Мұндағы таңбасы арифметикалык квадрат түбірдің белгісі немесе радикал, — түбір белгісінің ішіндегі өрнек.
өрнегі " санының арифметикальқ квадрат түбірі" деп оқылады.
Арифметикалық квадрат түбірдің анықтамасы бойынша: теңдігі болғанда орындалады.
Квадрат түбірдің жуық мәндері
өңдеу- Енді квадрат түбірдің жуық мәнін табуды карастырайық. Кез келген оң иррационал шексіз периодты емес ондық бөлшек сан берілсін.
- Берілген сандағы алғашкы ондық таңбаны қалдырайық. Сонда шыққан бөлшегін дәлдікпен кемімен алынған . санының рационал жуықтауы деп атаймыз; тура осылай бөлшегін дөлдікпен кемімен алынған а санының рационал жуықтауы дейміз; бөлшегі дәлдікпен кемімен алынған а санының рационал жуықтауы және т. с. с.
- Осылайша санының дәлдікпен; дәлдікпен; дәлдікпен және т. с. с. артығымен алынған а санының рационал жуықтауын жазуға болады. Олар сәйкесінше және т.с.с.
- Кез келген нақты саны оның кемімен алынған рационал жуықтауынан үлкен, бірақ артығымен алынған рационал жуықтауынан кіші. Сонда нақты санының ондық жуықтауларын келесі түрде жазуға болады:
- Кез келген оң нақты санның ондық жуықтауы (кемімен және артығымен алынған) қалай кұрастырылатынын көрсеттік.
- Квадрат түбірдің мәнін калькулятордың көмегімен есептеуге болады. Ол үшін сәйкес сан теріліп, одан кейін белгісін басу керек.
- Мысалы, калькулятордың көмегімен екенін аламыз. Енді квадрат түбірінің ондық жуықтауларын жазайық:
- Бұл процесті жалғастырып, -нің кез келген дәлдікпен алынған мәнін табуға болады.
Арифметикалық квадрат түбірдің қасиеттері
өңдеу1-теорема. Егер және болса, онда
(көбейтіндіден арифметикалық квадрат түбір табу үшін әрбір көбейткіштен жеке түбір тауып, нәтижелерін көбейту керек).
Дәлелдеуі. өрнегі ab өрнегінің квадрат түбірі болу үшін арифметикалық түбірдің анықтамасына сәйкес
- шарттары орындалу керек. Берілуі бойынша және теріс емес сандар. Демек, өрнегінің мағынасы бар және мен мәндері теріс емес болғандықтан, . Көбейтіндіні дәрежеге шығару қасиетін қолдансак, онда аламыз.
1-теорема. Бірнеше теріс емес көбейткіштер үшін де орындалады. Мысалы, мұндағы .
2-теорема. Егер және болса, онда
3-теорема. Кез келген х үшін теңдігі орындалады.
Функциясының қасиеттері:
өңдеу1) анықталу облысы теріс емес сандар, себебі ;
2) функцияның графигі координаталар басы арқылы өтеді, өйткені болғанда,
3) функциясының графигі координаталық жазыктықтың I ширегінде орналасқан, өйткені арифметикалык түбірдің аньқтамасы бойынша және айнымалыларының мәндері теріс емес сандар;
4) функция өзінің анықталу облысында есейеді, өйткені аргументтің үлкен мөніне функцияның үлкен мәні, аргументтің кіші мәніне функцияның кіші мәні сөйкес. Мысалы, болғанда, болғанда, және т.с.с.
- болғанда, функциясының графигі функциясының графигі сияқты I ширекте орналасқан және ол графиктер түзуіне қарағанда симметриялы. Егер
үктесі функциясының графигіне тиісті болса, онда осы нүктеге түзуіне қарағанда симметриялы нүктесі функциясының графигіне тиісті болады.[7]
Санның жуық квадраттық түбірін табу алгоритімдері
өңдеуКестені пайдалану. Шығару амалы
өңдеуБрадистің төрт таңбалы кестелерінде 22 кесте бар, солардың бірі — 4-кесте — саннан квадраттық түбір табу. Кестенің кішкене бөлігі келтірілген. Бұл кестеде 1-ден 100-ге дейінгі сандар түбірлерінің жуық мәндері берілген.
- Кестедегі квадраттық түбірлер жуық мәндерінің абсолюттік қателігі жазылған жуық мәннің ақырғы разряд бірлігінің жарымынан артпайды, яғни 0,0005 дәлдікпен алынған.
Квадраттық түбірлер кестесі. Түзетулер
№ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
5,0 | 2,236 | 2,238 | 2,241 | 2,243 | 2,245 | 2,247 | 2,249 | 2,252 | 2,254 | 2,256 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 |
5,1 | 2,258 | 2,261 | 2,263 | 2,265 | 2,267 | 2,269 | 2,272 | 2,274 | 2,276 | 2,278 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 |
5,2 | 2,280 | 2,283 | 2,285 | 2,287 | 2,289 | 2,291 | 2,293 | 2,296 | 2,298 | 2,300 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 |
5,3 | 2,302 | 2,304 | 2,307 | 2,309 | 2,311 | 2,313 | 2,315 | 2,317 | 2,319 | 2,322 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 |
5,4 | 2,324 | 2,326 | 2,328 | 2,330 | 2,332 | 2,335 | 2,337 | 2,339 | 2,341 | 2,343 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 |
Мысалдар қарастырайық.
Бірінші мен аралығындағы саннан квадраттық түбірлер табуды көрсетеміз. саңдарының жуық мәндерін табу үшін деп жазып, санның бірінші екі таңбасын құрайтын санды -бағанда тауып, оны үшінші таңба тұрған бағанмен қиылыстырамыз.
мен -баған қиылысында тұр, яғни мен -баған қиылысында тұр, сонда мен -баған қиылысында тұр, сонда
Төрт сан болғанда соңғы цифрға тузетуді (түзету екі сан болса, соңғы екі цифрға) қосады: ( -тузетудің -бағанындағы сан: ).
, т.с.с. орынды сан болғанда, оларды алдын ала торт таңбаға дейін дөңгелектеп, содан кейін кестедегі мәні ізделінеді:
Сан -ден кіші немесе -ден үлкен болғанда, оны алдымен түріне келтіреді де, кебейтіндіден квадраттық түбір табады (мұндағы — бүтін сан).
кестеден алынып, -не көбейтіледі).
Мысалдар қарастырайық:
Формула арқылы
өңдеу1) Сан онша үлкен болмағанда ертедегі вавилондықтар қолданған әдісті пайдалануға болады.
, мұнда саны санына қарағанда неғұрлым кіші болса, түбірдің мәні де соғұрлым дәлірек болады.
Мысалдар қарастырайық.
1-м ы с а л . өрнегінің ге дейінгі дәлдікте мәнін табайық.
дәлдік
2-м ы с а л . өрнегінің -ге дейінгі дәлдікте мәнін табайық. -ке ең жақын квадрат болғандықтан,
Бұл төрт таңбалы кестелердегі мәнімен бірдей: [8]
Геометриялық жолмен табу
өңдеу
Егер , а , онда
Итерационалді аналитикалық алгоритм
өңдеу
онда
Тейлор қатарымен жікеу
өңдеу- при .
Дереккөздер
өңдеу- ↑ Алгебра: Жалпы білім беретін мектептің 8-сыныбына А39 арналған оқулық / А. білқасымова, И. Бекбоев, А. Абдиев, 3. Жұмағүлова. — Алматы: "Мектеп" баспасы, 2008. — 144 бет. ISBN 9965-36-505-9
- ↑ "Математикалық ойашар", "Қазақ энциклопедиясы" Алматы, 2009 ISBN 9965-893-25-X
- ↑ "Математикалық ойашар", "Қазақ энциклопедиясы" Алматы, 2009 ISBN 9965-893-25-X
- ↑ Алгебра: Жалпы білім беретін мектептің 8-сыныбына А39 арналған оқулық / А. білқасымова, И. Бекбоев, А. Абдиев, 3. Жұмағүлова. — Алматы: "Мектеп" баспасы, 2008. — 144 бет. ISBN 9965-36-505-9
- ↑ Баймұханов Б., т.б.Б20 Алгебра: Жалпы білім беретін орта мектептің 8-сыныбына арналған оқулык/Б.Баймұханов, Е.Медеуов, Қ.Базаров. — Алматы "Мектеп" баспасы, 2004. —200 бет: сур. ISBN 9965-33-207-Х
- ↑ Алгебра: Жалпы білім беретін мектептің 8-сыныбына А39 арналған оқулық / А. Әбілқасымова, И. Бекбоев, А. Абдиев, 3. Жұмағүлова. — Алматы: "Мектеп" баспасы, 2008. — 144 бет. ISBN 9965-36-505-9
- ↑ Алгебра: Жалпы білім беретін мектептің 8-сыныбына А39 арналған оқулық / А. Әбілқасымова, И. Бекбоев, А. Абдиев, 3. Жұмағүлова. — Алматы: "Мектеп" баспасы, 2008. — 144 бет. ISBN 9965-36-505-9
- ↑ Баймұханов Б., т.б.Б20 Алгебра: Жалпы білім беретін орта мектептің 8-сыныбына арналған оқулык/Б.Баймұханов, Е.Медеуов, Қ.Базаров. — Алматы "Мектеп" баспасы, 2004. —200 бет: сур. ISBN 9965-33-207-Х
- ↑ Р. Курант Г. Роббинс Математика дегеніміз не? МЦНМО, 2000. 148 бет
Бұл мақаланы Уикипедия сапа талаптарына лайықты болуы үшін уикилендіру қажет. |
Бұл — мақаланың бастамасы. Бұл мақаланы толықтырып, дамыту арқылы, Уикипедияға көмектесе аласыз. Бұл ескертуді дәлдеп ауыстыру қажет. |
Бұл — математика бойынша мақаланың бастамасы. Бұл мақаланы толықтырып, дамыту арқылы, Уикипедияға көмектесе аласыз. |