Квадрат теңдеу

2-дәрежелі көпмүше немесе квадраттық теңдеу, квадраттық үшмүшелік деп

$ax^{2}+bx+c=0,\,\!$

түріндегі көпмүшелі теңдеуді айтамыз. Мұндағы a≠0 (Егер a = 0 болса, теңдеу ). Квадрат теңдеудің графигі - парабола (яғни квадрат функция).Квадрат теңдеу – 2-дәрежелі алгебралық теңдеу. Оның жалпы түрі мынадай: ax2+bx+c=0, a≠0. Квадрат үшмүше комплекс сандар жиынында $~(C)$ сызықтық көбейткіштерге жіктеледі: $~ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)$,мұндағы$~x_{1},x_{2}-ax^{2}+bx+c=0$ квадрат тендеудің түбірлері; $~x_{1},x_{2}$ — сандарыквадрат үшмүшенің түбірлері деп те, сонымен қатар бұлар $~y=f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$квадрат функциясының нөлдері деп те аталады. Квадрат үшмүшені мына түрде де жазуға болады:

• $~ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\dfrac {b}{2a}}\right)^{2}-{\dfrac {b^{2}-4ac}{4a}}$

Осы өрнек нақты айнымалының квадрат функциясының графигін салу кезінде функцияның ең үлкен ($~a>0$ болғанда) немесе ең кіші ($~a<0$ болғанда) мәндерін анықтау үшін пайдаланылады.$~ax^{2}+bx+c$ квадрат функциясының графигі парабола болады, оның $~\left(-{\dfrac {b}{2a}},{\dfrac {b^{2}-4ac}{4a}}\right)$ нүктесінде орналасқан.

$~x=-{\dfrac {b}{2a}}$ -— түзуі параболаның симметрия осі болып табылады. $~a>0$болғанда параболаның тармақтары жоғары карай, $~a<0$ болғанда — төмен қарай бағытталады.$~a<0$ болғанда $~x=-{\dfrac {b}{2a}}$ нүктесінде максимумға кетерілсе, ал $~a>0$болғанда $~y=-{\dfrac {b^{2}-4ac}{4a}}$ нүктесінде минимумға төмендейді.

Парабола ордината осін ($~0,b$) нүктелерінде қиып өтеді. Егер квадрат үшмүшенің нақтытүбірлері $~x_{1}\neq x_{2}$ болса, онда парабола абсцисса осін $~(x_{1},0)$ және $~(x_{2},0)$ нүктелерінде қиып өтеді, $~x=x_{2}$ болса, парабола абсцисса осімен $~(x_{1},0)$ нүктесінде жанасады.

a, b, және c әріптері - коэффиценттер деп аталады: a квадраттық коэффиценті - x²-тың коэффиценті, b коэффиценті - x-тің коэффиценті, ал c - тұрақты коэффицент немесе тұрақты мүше

ax² + bx + c - ның графиктері (Әр коэффицентінің мәнін өзгерткенде)

Квадрат формуласы

Квадрат теңдеудің коэффиценттері нақты болса, оның екі шешімі немесе түбірі болады. Оларды квадрат формуласы сипаттайды:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ ,

яғни:

$x_{+}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

және

$x_{-}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Дискриминант

Дискриминант мәндеріне байланысты түбірлер
■ <0: x²+¹⁄₂
■ =0: −⁴⁄₃x²+⁴⁄₃x−¹⁄₃
■ >0: ³⁄₂x²+¹⁄₂x−⁴⁄₃

Төмендегі формула квадрат түбірлерді табуға қажет:

$D=b^{2}-4ac,\,\!$

Бұл дискриминант деп аталады.

Квадрат функцияның коэффиценттері нақты сан болса (комплекс сан емес) онда оның бір әлде екі нақты немесе екі комплекс түбірлері бар. Осыған байланысты дискриминант түбірлердің түрі мен санын анықтайды. Дискриминант мәніне байланысты үш жағдай болуы мүмкін:

• Егер дискриминант оң сан болса теңдеудің 2 түбірі бар және олар нақты:

${\begin{aligned}x_{1}&={\frac {-b+{\sqrt {D}}}{2a}}\\x_{2}&={\frac {-b-{\sqrt {D}}}{2a}}\\\end{aligned}}$

• Егер дискриминант нөлге тең болса, теңдеудің бір нақты түбірі бар:

  $x=-{\frac {b}{2a}}.\,\!$

• Егер дискриминант теріс сан болса теңдеудің нақты түбірлері жоқ. Керісінше, теңдеудің екі комплекс түбірі бар:

  ${\begin{aligned}x_{1}&={\frac {-b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {|D|}}{2a}}\end{aligned}}$ мұнда ${\begin{aligned}|D|\end{aligned}}$ - абсолют мәні(+ve) және ${\begin{aligned}i\end{aligned}}$ = ${\begin{aligned}{\sqrt {-1}}\end{aligned}}$

  ${\begin{aligned}x_{2}&={\frac {-b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {|D|}}{2a}}\end{aligned}}$

Виет формуласы

x2+px+q=0 түріндегі келтірілген квадрат теңдеудің шешімі төмендегіше өрнектеледі: x1,2=. Квадрат теңдеудің түбірлері мен коэффициенттері бір-бірімен мынадай қатынастар арқылы байланысқан: x1+x2=, x1x2= .

Мысалдар

• $7x+15-2x^{2}=0$ теңдеуінде дискриминант оң: $\Delta =169$ және екі нақты шешімі (түбірлері) бар:

  $x_{1}={\frac {-7-{\sqrt {169}}}{2\cdot (-2)}}=5$

  $x_{2}={\frac {-7+{\sqrt {169}}}{2\cdot (-2)}}=-{\frac {3}{2}}.$

• $x^{2}-2x+1=0$ теңдеуінің дискриминанты нөлге тең: $\Delta$=0 яғни, теңдеудің бір шешімі бар:

  $x=-{\frac {-2}{2}}=1$

• $x^{2}+3x+3=0$ теңдеуінің нақты сандар арасында шешімі жоқ, өйткені: $\Delta =-3<0$. Бірақ екі комплекс түбірлері бар:

  $x_{1}={\frac {-3-{\sqrt {3}}i}{2}}$

  $x_{2}={\frac {-3+{\sqrt {3}}i}{2}}.$

Квадрат теңдеудің сол жақ бөлігін a(x–x1)(x–x2)=0 түрінде көрсетуге болады. ге келтірілетін есептерді шешу мәселесі ежелгі дәуір математиктеріне де белгілі болған. Квадрат теңдеу терминін неміс философы әрі математигі Х.Вольф (1679 – 1754) енгізген (1710).