Лаплас операторы

Лаплас операторы, лапласиан (дельта операциясы)— х₁, х₂, ..., х_n айнымалыларынан тәуелді $F\$(х₁, х₂, ..., х_n) функциясына $\left({\partial ^{2} \over \partial x_{1}^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial x_{2}^{2}}+\ldots +{\partial ^{2} \over \partial x_{n}^{2}}\right)F$ функциясын сәйкес келтіретін $\ \Delta$ сызықты дифференциал операторы. Дербес жағдайда бір айнымалылы $F\$(х) функциялары үшін Лаплас операторs екінші туынды операторымен сәйкес келеді:$\ \Delta F\ (x)$=$F''\ (x)$.

$\ \Delta F\ (x)$=0 теңдеуін әдетте Лаплас теңдеуі деп атайды. $\ \Delta$ белгілеуін Р.Мерфи енгізген (1833).

Лаплас операторы үшін әр түрлі қисық сызықты координаттар жүйесіндегі өрнектері

Үш өлшемді $q_{1},\ q_{2},\ q_{3}$ кеңістіктегі кез келген ортогоналды қисықсызықты координаттар үшін:

$\Delta f(q_{1},\ q_{2},\ q_{3})=\operatorname {div} \,\operatorname {grad} \,f(q_{1},\ q_{2},\ q_{3})=$

$={\frac {1}{H_{1}H_{2}H_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left({\frac {H_{2}H_{3}}{H_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left({\frac {H_{1}H_{3}}{H_{2}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left({\frac {H_{1}H_{2}}{H_{3}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{3}}}\right)\right],$

мұндағы $H_{i}\$ — Ламе коэффициенттері.

Цилиндрлік координаттар

Цилиндрлік координаттарда түзуден тыс $\ r=0$:

$\Delta f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}$

Сфералық координаттар

Сфералық координаттар бас нүктеден тыс (үш өлшемді кеңістікте):

$\Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}$

немесе

$\Delta f={1 \over r}{\partial ^{2} \over \partial r^{2}}\left(rf\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}.$

Егер $\ f=f(r)$ болса n-өлшемді кеңістікте:

$\Delta f={d^{2}f \over dr^{2}}+{n-1 \over r}{df \over dr}.$

Параболалық координаттар

Параболалық координаттарда (үш өлшемді кеңістікте) бас нүктеден тыс:

$\Delta f={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial f}{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial f}{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}$

Цилиндрлік параболалық координаттар

Параболалық цилиндр координаттарында бас нүктеден тыс:

$\Delta F(u,v,z)={\frac {1}{c^{2}(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial ^{2}F}{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial v^{2}}}\right]+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}$