Лаплас теңдеуі

Лаплас теңдеуі– дербес туындысы бар дифференциал теңдеу, үшөлшемді кеңістікте:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0$

болып өрнектеледі, әрі Гельмгольц теңдеуінің жеке түрі болып табылады. мұндағы х, y, z — тәуелсіз айнымалылар, ал u=u(x, y, z) — ізделінетін функция. Физика мен техниканың бірқатар есептері Лаплас тендеуіне келтіріледі. Лаплас тендеуін стационарлық процестегі температура, кеңістік нүктесіндегі электростатикалық өріс потенциалы, облыстағы тартылыс өрісінің потенциалы, т.б. қанағаттандырады. Лаплас тендеуін қанағаттандыратын функциялар гармониялық функциялар деп аталады. Лаплас тендеуін 1761 ж. Л.Эйлер және Ж. Д’Аламбер гидромеханика есептеріне байланысты қолданған. Бұл теңдеу 1782 және 1799 ж. П.Лаплас аспан механикасы мен гравитациялық потенциал теориясына қолданғаннан кейін кеңінен танылды. Соынмен қатар n-өлшемді кеңісіткте де баламасы бар. Бұл жағдайда n екінші туындыларын қосады.

Дифференциалдық оператор арқылы былай жазылады

$\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+...$

— (Лаплас операторы) — бұл теңдеу (кез келген өлшемде) бірдей былай жазылады $\Delta u=0$

Лаплас теңдеуі. Симметриялық қабықшалардағы Лапласа кернеулерді анықтау. Лаплас теңдеуі былайша жазылады:

• ${\frac {\delta _{m}}{\rho _{m}}}+{\frac {\delta _{t}}{\rho _{t}}}={\frac {P}{h}};$

мұндағы $\delta$_t - айналма кернеу, $\delta$_m - меридиандық кернеу, h - қабықшаның қалыңдығы, р - газдың қысымы, р_m - меридиан қисықтығыньщ радиусы, р_t -меридиан доғасына перпендикуляр қалыпты қима қисықтығьның радиусы. Барлық күшті қабықша осіне проекциялап тағы бір теңдеу алуға болады:

• F = $\delta$_m$\pi$$h\sin A$

мұндағы F-сыртқы күштердің тең әсерлісі.