Ортоүшбұрыш

Ортоүшбұрыш деп негізгі (бастапқы) үшбұрыштың биіктік табандары оның төбесі болатын үшбұрышты атайды. ΔABC үшін ортоүшбұрыш бұл жағдайда Δabc-ға тең, яғни Δabc үшбұрышының төбелері (a, b, c) ΔАBC-ның биіктік табандарына тең.

Қасиеттері

• Фаньяно есебі. Берілген сүйір бұрышты үшбұрышқа іштей сызылған үшбұрыштардың барлығының арасында ең кіші периметрге ие – ортоүшбұрыш.
• Сүйір бұрышты үшбұрыш биіктіктері сол үшбұрыштың ортоүшбұрышының бұрыштарының биссектрисалары болады. Сондықтан, сүйір бұрышты үшбұрыш ортоцентрі берілген үшбұрыштың ортоүшбұрышына іштей салынған шеңбер центрі болады.
• Егер АВС сүйір бұрышты үшбұрышы үшін BC, AC және AB қабырғаларында жататын тиісінше A₁, B₁ және C₁ нүктелері үшін мына заңдылық орындалса:
  
  ∠BA1C1 = ∠ CA1B1 , ∠CB1A1 = ∠AB1C1 және  ∠AC1B1 = ∠BC1A1

онда A1B1C1 — АВС үшбұрышының ортоүшбұрышы.

• Егер бұл сүйір бұрышты үшбұрышқа сырттай шеңбер сызып, үшбұрыштың үш төбелерінен шеңберді жанап өтетіндей түзу сызсақ, онда бұл түзулердің қиылысуы берілген үшбұрышқа қатысты тангенциалды үшбұрыш болатын үшбұрыш пайда болады.

Тектес үшбұрыштардың қаситтері мен ұқсастықтары

• Бастапқы ΔABC үшбұрышы ортоүшбұрышқа қатысты үш сыртқы биссектрисалар үшбұрышы болады. 
• Ортоүшбұрыш пен тангенциалды үшбұрыштар өзара ұқсас (Зетель, салдар 1, §66, 81-б.).
• Ортоүшбұрыштың Жергонн үшбұрышы мен бастапқы үшбұрыш өзара ұқсас.
• Үш сыртқы биссектрисалар үшбұрышының үш сыртқы биссектрисалар үшбұрышы мен бастапқы үшбұрыш өзара ұқсас.
• Жергонн үшбұрышының ортоүшбұрышы мен бастапқы үшбұрыш өзара ұқсас.

Басқа да қасиеттері

• Ортоүшбұрыш ауданы тең: S_орто= S/(2abc)^2 (a^2+b^2-c^2)(a^2+c^2-b^2)(b^2+c^2-a^2)

бұл жерде S - АВС үшбұрышының ауданы; a, b, c - оның тиісті қабырғалары.

• Δabc ортоүшбұрышына сырттай сызылған шеңбер ΔABC үшбұрышы үшін Эйлер шеңбері болып табылады (тоғыз нүктелер шеңбері), яғни ол бірдей уақытта ΔABC үшбұрышының медианаларының 3 табандары арқылы өтеді. Ал бұл 3 медиана табандары ΔABC үшбұрышы үшін қосымша үшбұрыш төбелері болады.
• ΔABC үшбұрышы төбелерінен жүргізілген берілген ΔABC үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер радиустары Δabc ортоүшбұрышының сәйкес қабырғаларына перпендикуляр болады. (Зетель, салдар 2, §66, 81-б.).

Әдебиет

• Понарин Я. П. Элементарлық геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 38-39.
• Зетель С. И. Жаңа геометрия үшбұрыш. Пособие для учителей. 2-ші басылым. М.: Учпедгиз, 1962. 153. с.