Стирлинг формуласы

Стирлинг формуласы – n!=1*2*…*n өрнегінің жуық мәнін табуға мүмкіндік беретін асимптотикалық теңдік. Стирлинг формуласы :$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.$ түрінде жазылады. Мұндағы π=3,14159…, е=2,71819…, ал жіберілетін қате е1/12n–1 айырымынан кіші болады, яғни n шексіз өскен сайын ол нөлге ұмтылады. Стирлинг формуласы ағылшын математигі Дж. Стирлингтің (1692 – 1770) есімімен аталған, ол 1930 жылы ең бірінші болып стирлинг формуласы алынған гамма-функция логарифмінің асимптоталық жіктелуін (Стирлинг қатары) тапқан. Сол жылы стирлинг формуласын Дж. Стирлингтен басқа А.Муавр (1667 – 1754) да тапқан.

Пайдаланған сілтеме

(ln n!) санының (n ln n − n) санына қатынасы n өскен сайын бірігеді.

Көбінесе пайдаланылатын түрі

$\ln n!=n\ln n-n+O(\log(n))\$

немесе

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n!}{{\sqrt {2\pi n}}\,\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}}=1,$

жиі мына түрде де жазылады

$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.$

Натурал логарифм түрінде былай жазуға болады:

$\ln n!\sim {\frac {1}{2}}\ln(2\pi n)+n\ln n-n={\frac {1}{2}}\ln(2\pi )+\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\ln n-n.$