Эйлер теоремасы (планиметрия)

Эйлер теоремасы арқылы планиметрияда сырттай және іштей сызылған шеңберлердің центрлерінің арақашықтығын табуға арналған.

Ол былай өрнектеледі:

$d^{2}=R(R-2r)\,$

R және r — сәйкесінше сырттай және іштей сызылған шеңберлердің радиусы.

Осы теоремадан Эйлер теңсіздігі шығады:

$R\geq 2r.$

Дәлелдеу

Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер

О нүктесі АВС үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің орталығы, ал I нүктесі іштей сызылған шеңбердің орталығы. Егер АI сәулесі сырттай сызылған шеңберді L нүктесінде қиса, онда L нүктесі ВС доғасының орта нүктесі болады. LO түзуін сырттай сызылған шеңберді М нүктесінде қиғанға дейін созып жүргіземіз. I нүктесінен АВ қабырғасына перпендикуляр жүргіземіз. ID = r . ADI үшбұрышы MBL үшбұрышына ұқсас. Сонда ID / BL = AI / ML, яғни ID × ML = AI × BL. Сондықтан 2Rr = AI × BL. BI түзуін жүргізген кезде, мына теңдікті көруге болады:

бұрыш BIL = бұрыш A / 2 + бұрыш ABC / 2,

бұрышIBL = бұрыш ABC / 2 + угол CBL = бұрыш ABC / 2 + бұрыш A / 2,

OI түзуін сырттай сызылған шеңберді P, Q нүктесінде қиғанға дейін жүргіземіз. Сонда PI × QI = AI × IL = 2Rr, сол сияқты (R + d)(R − d) = 2Rr, яғни d² = R(R − 2r).