Үшбұрышқа іштей және сырттай сызылған шеңберлер

Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің орталығы

Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің орталығы – үш орта перпендикулярдың қиылысу нүктесі және ол үшбұрыштың бірінші тамаша нүктесі болып табылады (1 - сурет).

Үш орта перпендикулядың бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеу үшін келесі теорема қолданылады.

Теорема:

Кесіндінің орта перпендикулярында жататын кез-келген нүкте берілген кесіндінің ұштарынан бірдей қашықтықта жатады.  (3 - сурет)

m ─ АВ кесіндісіне жүргізілген орта перпендикуляр, ал О нүктесі ─ осы кесіндінің ортасы болсын (2- сурет). m түзуінің бойынан кез-келген бірақ О нүктесінен басқа бір Р нүктесі алынсын. Р нүктесі мен АВ кесіндісінің ұштары қосылды.

3 picture

Дәлелдеу керек: АР = ВР

5 picture

Дәлелдеуі: АРВ үшбұрышын қарастырса, m түзуінде жатқан РО кесіндісі үшбұрыштың АВ табанына жүргізілген әрі медианасы, әрі биіктігі болып табылады. Осыдан, бұл үшбұрыш тең бүйірлі үшбұрыш және АВ ─ оның табаны. Демек, АР мен РВ үшбұрыштың бүйір қабырғалары, және олар тең, яғни АР = ВР. Дәлелденді. Теореманы тағы басқа жолмен де дәлелдеуге болады: ОАР және ОВР тікбұрыштары екі катеті бойынша тең (ОА = ОВ, ОР ─ ортақ катет). Сондықтан, АР = ВР. Дәлелденді. (3- сурет)

Кері теорема:

Кесіндінің ұштарынан бірдей қашықтықта жатқан әр нүкте кесіндіге жүргізілген орта перпендикулярдың бойында жатады. (5 - сурет)"

АВ кесіндісінің ұштарынан бірдей қашықтықта жататын кез-келген N нүктесін қарастырып, оның m түзуінде жататынын дәлелдеу керек (4 - сурет).

7 picture

Дәлелдеу керек : N нүктесі m түзуінде жатады.

Дәлелдеуі: АNВ үшбұрышы қарастырылады: АN = NВ. Демек, АNВ үшбұрышы тең бүйірлі ұшбұрыш, сәйкесінше АВ ─ оның табаны. Демек үшбұрыштың N төбесінен табанына жүргізілген NО – оның әрі биіктігі, әрі медианасы. Осыдан, NО ─ АВ кесіндісінің орта перпендикуляры, яғни m түзуінде жатады. Дәлелденді. (5 - сурет)"

Салдары:

Үшбұрыштың қабырғаларына жүргізілген орта перпендикулярлар бір нүктеде қиылысады.  (7- сурет )

Дәлелдеуі: АВС үшбұрышы, m және n ─ орта перпендикуляр, және олар О нүктесінде қиылысады (6 - сурет). Жоғарыда дәлелденген теорема бойынша, АО = ОВ және ОВ = ОС. Бұдан, АО = ОС. Демек, О нүктесі АС-ның орта перпендикулярында жатады, яғни, m, n және р орта перпендикулярлары бір нүктеде қиылысады. Дәлелденді (7 - сурет). ,

Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің орталығы

Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің орталығы - ішкі бұрыштардың үш биссектрисасының қиылысу нүктесі, және ол үшбұрыштың екінші тамаша нүктесі болып табылады. (8 сурет).

Үш биссектрисаның бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеу үшін келесі теорема қолданылады.

Теорема:

Жазыңқы емес бұрыштың биссектрисасының бойындағы кез-келген нүкте оның қабырғаларынан бірдей қашықтықта жатады. (10- сурет)

10 picture

АВС бұрышының В бұрышынан шыққан m биссектриса бойынан кез келген D нүктесі алынды (9- сурет). Осы нүктеден АВ және АС қабырғаларына сәйкесінше DH және DN перпендикулярлары жүргізілді.

Дәлелдеу керек: DH = DN

12 picture

Дәлелдеуі: ∆BHD және ∆BND тікбұрышты үшбұрыштары қарастырылады (9- сурет). Олар сүйір бұрышы және гипотенузасы бойынша тең ( BD – ортақ қабырғалары, 1 және 2 бұрыштары тең, BHD және BND – тік бұрыштар). Бұдан, сәйкесінше олардың DH және DN катеттері де тең, яғни DH = DN. Дәлелденді (10- сурет).

Кері теорема:

Бұрыш қабырғаларынан бірдей қашықтықта және бұрыштың ішінде жататын әрбір нүкте осы бұрыштың биссектрисасында жатады.   (12- сурет)

АВС бұрышының ішінен оның АВ және ВС қабырғаларынан тең қашықтықта жататын кез-келген D нүктесі алынды (11- сурет).

Дәлелдеу керек: ВD түзуі АВС бұрышының биссектрисасы.

Дәлелдеуі: D нүктесінен АВ және АС қабырғаларына сәйкесінше DH және DN перпендикулярлары жүргізілді. Гипотенуза мен катет бойынша ∆BHD және ∆BND тікбұрышты үшбұрыштары тең (BD – ортақ гипотенуза, берілгені бойынша DH =DN, BHD және BND – тік бұрыштар). Бұдан, сәйкесінше олардың HВD және NВD бұрыштары тең, яғни ВD ─ АВС бұрышының биссектрисасы. Дәлелденді (12- сурет).

Салдары:

Үшбұрыштың биссектрисалары бір нүктеде қиылысады. (14- сурет)

14 picture

Дәлелдеуі: О нүктесі ─ АА1 және ВВ1 биссектрисаларының қиылысу нүктесі (13- сурет). О нүктесінен АВ, ВС, АС қабырғаларына сәйкесінше ОК, ОL, OM перпендикулярларын түсіреміз. Жоғарыда дәлелденген теорема бойынша, ОК = OM, ОК = ОL. Сондықтан, ОМ = ОL, яғни О нүктесі АСВ бұрышының қабырғаларынан бірдей қашықтыұта, бұдан О нүктесі осы бұрыштың СС1 биссектрисасында жатады. Сондықтан да АВС үшбұрышының барлық үш биссектрисасы да бір О нүктесінде қиылысатыны дәлелденді (14- сурет).