Өзара жай сандар

Бүтін сандардың ±1-ден басқа ешқандай ортақ бөлгіштері болмаса оларды өзара жай сандар деп атайды. Мысалы: 14 пен 25 өзара жай, ал 15 пен 25 өзара жай емес (олардың ортақ бөлгіші 5).

Басқаша сипаттама: егер жазықта бүтін санды координаттарда жуандығы нөл болатындай «ағаш» отырғызып «орман» салса, онда координаттар бас нүктесінен координаттра өзара жай болатын ағаштар ғана көрінеді.

Белгіленуі

$~m$ мен $n\,$ сандарының өзара жай екендігін көрсету үшін былай:

$m\perp n.$ жазады

Бірақ бұндай белгленумен көп математиктер келіспей көбінесе $(a,b)=1$ деп жазады, ол деген сөз: "a мен b сандарының Ең үлкен ортақ бөлгіші 1-ге тең".

Қасиеттері

• a мен b сандары сонда тек сонда, егер Ең үлкен ортақ бөлгіштері бірге тең болса ғана өзара жай болады, немесе, басқаша айтқанда, егер бүтін x пен y $a\,x+b\,y=1$ болатындай табылса (қараңыз Безу қатынасы).
• Кез келген бір біріне теі емес жай сандар өзара жай.
• Егер $a$ — $bc$ бөлгіші болса, және $a$ мен $b$ өзара жай болса, онда $a$ — $c$ бөлгіші болады.
• Егер a₁,…, a_n сандары — жұп жұбымен өзара жай болса, онда Ең кіші ортақ еселік(a₁,…, a_n) = |a₁·…·a_n|.

Жалпылама

Понятия простого числа и взаимно простых чисел естественно обобщаются на произвольные коммутативные кольца, например, на кольцо многочленов или гауссовы целые числа. Обобщением понятия простого числа является «неприводимый элемент». Два элемента кольца называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме делителей единицы. При этом аналог основной теоремы арифметики выполняется не во всех, а только в факториальных кольцах.

Сілтемелер

• Как часто встречаются пары взаимно простых чисел?