Алтын қатынас

Алтын қатынас (шамамен 1.6180339887)

Алтын қима.

«Алтын қима» — гармониялық бөлу, шеткі және орта қатынаста бөлу – берілген АВ кесіндісін оның үлкен бөлігі (АС) сол кесінді (АВ) мен оның кіші бөлігінің (СВ) пропорционал ортасы болатындай етіп екі бөлікке бөлу. Ал АВ =а кесіндісінің Алтын қимасын алгебралық жолмен табу a:x = x (a-x) теңдеуін (мұндағы х=АС) шешуге келіп тіреледі. Бұдан х=(√5-1)а/2≈0,62 а болады. х-тың а-ға қатынасын шамамен 2/3, 3/5,5/8, 8/13, 13/21,... т.б. бөлшектер арқылы өрнектеуге болады, мұндағы 2, 3, 5, 8, 13, 21,..., – Фибоначчи сандары. Алтын қима ертедегі грек ғалымдарына белгілі болған. Евклидтің «Негіздерінің» 2-кітабында алтын қиманы геометриялық салу жолы x(a+x) = a2 квадрат теңдеуін шешумен пара-пар екендігі көрсетілген. Евклидтен кейін алтын қиманы Гипсикл (біздің заманымыздан бұрынғы 2 ғасыр), Папп Александрийский (біздің заманымыздан бұрынғы 3 ғасыр), т.б. зерттеген. Алтын қима немесе оған жақын пропорционал қатынастар көптеген әлемдік өнер туындыларының композициялық құрылымына негіз болған. Сондықтан алтын қима 15 – 16 ғасырларда өнерде, әсіресе сәулет өнерінде, т.б. кеңінен қолданыла бастады. Алтын қима терминін 15 ғасырдың аяғында Леонардо да Винчи енгізген. Табиғатта жиі кездеседі. a және b екі саны (a+b)/a = a/b өрнегін қанағаттандырса, онда олар алтын қатынасты сақтайтын болады, бұл жағдайда a/b алтын қатынасына тең болады. Бұл шама тікелей Фибоначи сандарына байланысты. Бұл құрылымды Леонардо да Винчи өз өнерінде пайдаланған. Бұл құрылым табиғатта кеңінен кездеседі: гүлдер спиралынан адам денесінің симметриясына дейін.

Әдетте бұл пропорцияны юнанның φ (сонымен бірге $\tau$ деп те) әрпімен белгіленіп мынаған тең болады:

$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.61803398874989484\dots$

Қосымша мәліметтер

• [1](қолжетпейтін сілтеме) — Алтын қима

Біздің заманымызға дейінгі V ғасырда Грецияның Афины қаласында салынған Парфенон храмы туралы естімеген адам жоқ шығар, ол туралы: "Егер де сен Афиныда болмасаң, түйемен бір есепсің, ал онда бола тұрып таңданбасаң, барып тұрған есексің" (Балалар энциклопедиясы. 10-том, 372-бет) деп дәріптеген екен. Сол заманда осындай керемет сәулет ғимаратын алтын қатынас есебімен салу адамзат ойының есепке жүйріктігін көрсетсе керек. Біздің қазақ халқы да алтын қима есебін ежелден білген деуге болады. Оның мысалы, қазақтың қара домбырасы, ондағы әрбір бөліктер алтын қима қатынасына сай келеді. Күнделікті оқып жүрген кітаптар мен хат салатын конверт те алтын қима есебімен жасалғанына мән бермейміз. Осы қасиеттеріне қарай бұл қатынасты ертеде "тәңірлік пропорция" деп те атаған.

Математикалық қасиеттері

Бесжұлдыздағы алтын қатынас

$\varphi \;$ — иррационал алгебралық сан, келесі теңдеулерінің кез келгенінің оң шешуі болсын

$\varphi ^{2}=\varphi +1,\ \varphi -1={\frac {1}{\varphi }},\ \varphi ^{3}={\frac {\varphi +1}{\varphi -1}}.$

$\varphi$ дегенді шынжырлы жарнақпен көрсетеді

$\varphi =1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\,\cdots }}}}}},$

мұндағы сәйкес бөлшектер қатар келе жатқан Фибоначчи сандары қатынасы болып табылады ${\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}$. Осылайша, $\varphi =\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}$.

Дұрыс бесжұлдызда әр сегмент оны қиятан басқа сегменттермен алтын қатынаста бөлінеді (яғни көк кесіндінің жасылға қатынасы, және қызылдың көкке, жасылдың күлгінге қатынасы $\varphi$ тең).

Және бір өрнектелуі:

$\varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+...}}}}}}}}.$

Қызықты фактілер

• Қағбаның географиялық орналасуы алтын қатынасқа сәйкес келеді: оңтүстік полюстен Қағбаға дейінгі арақашықтық Қағбадан солтүстік полюске дейінгі арақашықтықа қатынасы 1.618 мәнін береді.

Сілтемелер

• Г. Б. Аракелян. Математика и история золотого сечения. М.: Логос, 2014, 404 с. ISBN 978-5-98704-663-0
• А. Д. Бердукидзе, Золотое сечение Квант №8, 1973.
• В. Лаврус, Золотое сечение
• О.Н. Калюжный, О Золотой Пропорции и ее квадрате
• Золотое сечение, как корень квадратного уравнения Мұрағатталған 14 қазанның 2007 жылы.
• А.В.Радзюкевич Красивая сказка о золотом сечени
• А.В.Радзюкевич Знал ли Леонардо да Винчи "код да Винчи"? Мұрағатталған 16 ақпанның 2008 жылы.
• А.И. Щетников Золотое сечение в «древней» и в «новой» эстетике. Мұрағатталған 12 наурыздың 2008 жылы.
• Golden rectangle slideshare.net