Кері тригонометриялық функциялар

Кері тригонометриялық функциялар (аркфункциялар; лат. arc — доға) — тригонометриялық функцияларға кері функциялар. Керi тригонометриялық функцияларға алты функция жатады (әр тригонометриялық функцияларға сәйкес).

• арксинус (белгіленуі: $\arcsin x$)
• арккосинус (белгіленуі: $\arccos x$)
• арктангенс (белгіленуі: $\operatorname {arctg} x$; шетелдiк әдебиеттерде $\arctan x$)
• арккотангенс (белгіленуі: $\operatorname {arcctg} x$; шетелдiк әдебиеттерде $\operatorname {arccot} x$ немес $\operatorname {arccotan} x$)
• арксеканс (белгіленуі: $\operatorname {arcsec} x$)
• арккосеканс (белгіленуі: $\operatorname {arccosec} x$; шетелдiк әдебиеттерде $\operatorname {arccsc} x$)

Негiзгi байланыстар

$\arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}}$

$\operatorname {arctg} x+\operatorname {arcctg} x={\frac {\pi }{2}}$

Арксинус

$~y=\arcsin x$ фунциясының графигі.

$y=\arcsin x$ өспелі функция болып табылады.

• $\sin(\arcsin x)=x\qquad$ , егер $-1\leqslant x\leqslant 1,$
• $\arcsin(\sin y)=y\qquad$ , егер $-{\frac {\pi }{2}}\leqslant y\leqslant {\frac {\pi }{2}},$
• $D(\arcsin x)=[-1;1]\qquad$ (анықталу облысы),
• $E(\arcsin x)=\left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]\qquad$ (мәндер облысы).

Қасиеттері

• $\arcsin(-x)=-\arcsin x\qquad$ (тақ функция).
• $\arcsin x>0\,$ , егер $0<x\leqslant 1.$
• $\arcsin x=0\,$ , егер $~x=0.$
• $\arcsin x<0\,$ , егер $-1\leqslant x<0.$
• $\arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\-\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x\leqslant 0\end{matrix}}\right.$
• $\arcsin x=\operatorname {arctg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
• $\arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arcctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad 0<x\leqslant 1\\-\operatorname {arcctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}-\pi ,\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.$

Арккосинус

$~y=\arccos x$ фунциясының графигі.

Арккосинус - косинуске Kepi функция. Арккосинус Arccos z деп белгіленеді. Арккосинус - көпмәнді (ақырсыз көпмәнді) функция. Арккосинус логарифм және квадрат түбір арқылы мына

Arccos z = ${\frac {1}{i}}\operatorname {Ln} \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)$

Арктангенс

$~y=\operatorname {arctg} \,x$ фунциясының графигі.

Арктангенс - тангенске Kepi функция. Арктангенс Arctg z деп белгіленеді. Арктангенс - көпмәнді (ақырсыз көпмәнді) функция. Арктангенс - логарифм арқылы мына формула бойынша өрнектеледі:

Arctg z = ${\frac {1}{2i}}\operatorname {Ln} {\frac {1+iz}{1-iz}}$

Арккотангенс

$~y=\operatorname {arcctg} \,x$ фунциясының графигі.

Арккотангенс - котангенске кері функция. Арккотангенс Arcctg z - деп белгіленеді. Арккотангенс - көпмәнді (ақырсыз көпмәнді) функция. Арккотангенс - логарифм арқылы мына формула бойынша өрнектеледі:

Arcctg z = ${\frac {1}{2i}}\operatorname {Ln} {\frac {z+i}{z-i}}$

Арксеканс

$\mathop {\operatorname {arcsec} } \,(x)\,=\operatorname {arccos} \left({\frac {1}{x}}\right)\,$ Арксеканс - секанске кері функция. Арксеканс Arcsec z деп белгіленеді. Арксеканс - көпмәнді (ақырсыз көпмәнді) функция. Арксеканс логарифм және квадрат түбір арқылы мына формула бойынша өрнектеледі:

Arcsec z = ${\frac {1}{i}}\operatorname {Ln} \left({\frac {1}{z}}+{\frac {1}{z^{2}-1}}\right)$

Арккосеканс

$\mathop {\operatorname {arccosec} } \,(x)\,=\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)\,$ Арккосеканс - косеканске кері функция. Арккосеканс Arccosec z деп белгіленеді. Арккосеканс көпмәнді (ақырсыз көпмәнді) функция. z-тің нақты мәндерінде Арккосеканс [-π/2;π/2] аралығында жататын бірмәнді тармағы арккосеканс бас мәні деп аталады. Логарифмдік функция арқылы Арккосеканс мына формула арқылы өрнектеледі:

Arccosec z = ${\frac {1}{i}}\operatorname {Ln} \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}\right)$

Кері тригонометриялық функциялар туындылары

$(\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.$
$(\arccos x)'={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.$
$(\operatorname {arctg} \,x)'={\frac {1}{\ 1+x^{2}}}.$
$(\operatorname {arcctg} \,x)'=-{\frac {1}{\ 1+x^{2}}}.$

Кері тригонометриялық функциялар интегралдары

Нақты және комплексті x үшін:

${\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \arccos x\,dx&{}=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \operatorname {arctg} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arctg} \,x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname {arcctg} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcctg} \,x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\,\right)\!\right)+C,\\\int \operatorname {arccosec} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccosec} \,x+\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\,\right)\!\right)+C.\end{aligned}}$

Нақты x ≥ 1 үшін:

${\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C,\\\int \operatorname {arccosec} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccosec} \,x+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C.\end{aligned}}$