Морлей теоремасы

Морлей теоремасы - кез келген үшбұрыштың сыбайлас трисектрисаларының қиылысу нүктесі - тең қабырғалы үшбұрыштың төбелері болады. Теореманы 1899 жылы американ математигі Френк Морлей (1860 - 1937) дәлелдеген.

Дәлелдеуі

Морлей теоремасының қарапайым дәлелдеуі

Оның бірнеше дәлелдеуі бар. Солардың қарапайым түрі келесі тригонометриялық өрнекке негізделген

sin 3θ ≡ 4 sin θ sin(60°+θ) sin(120°+θ).

D,E,F нүктелері BC қабырғасында көрсетілгендей алынған. Сондағы α+β+γ = 60° екені анық, сондықтан ∠CYA = 120°+β және ΔXEF бұрыштары - α, 60°+β, 60°+γ. Сонда sin(60°+β) = DX/XE және AC/sin(120°+β) = AY/sin γ синустар ережесі бойынша, осылайша ΔABC биіктігі h мынадай болады

h = AB sin 3β = 4AB.AC.DX sin β sin γ / (XE.AY)

  = AC sin 3γ = 4AC.AB.DX sin γ sin β / (XF.AZ).

Алымдары тең болғандықтан XE.AY = XF.AZ. Ал ∠EXF = ∠ZAY және осы бұрыштар қабырғалары қатынасы бірдей (себебі XE/XF = AZ/AY) болғандықтан XEF пен AZY ұқсас үшбұрыштар болып келеді. Осылайша ΔAZY негізіндегі бұрыштары 60°+β және 60°+γ. Дәл осылайша ΔBXZ пен ΔCYX бұрыштары мен суреттегі барлық бұрыштар оңай анықталады.