Нейман есебі

Нейман есебі , екінші шеттік есеп – екінші ретті дербес туындысы бар дифференциалдық теңдеулер үшін қойылатын шеттік есептердің бірі. Нейман есебі қарапайым жағдайда (дербес жағдайда Лаплас теңдеуі үшін) белгілі бір облыста осы облыс шекарасында берілген нормаль туындының шешімін табуға қолданылады. Алғаш 1877 жылы К.Нейман (1832 – 1925) зерттеген.

Ішкі Нейман есебі

Ішкі Нейман есебі — G облысы шекарасында келесі шартты қанағаттандыратын шекті G облысындағы u гармоникалық функциясын, $u\in C^{2}(G)\cap C^{1}({\overline {G}})$ іздеу:

${\frac {\partial u(x)}{\partial \mathbf {n} }}{\Bigg |}_{\partial G}=u_{1},\ u_{1}\in C(\partial G),$

мұндағы n — G облысы шекарасына нормаль сыртқы бірлік.

Потенциал теориясынан ішкі Нейман есебінің шешімі болуының қажет және жеткілікті шарты

$\int \limits _{\partial G}u_{1}(x)dS_{x}=0,\qquad \qquad (*)$

екені белгілі, оның үстіне есеп шешімі тек константаға дейінгі дәлдікпен табылады.

сыртқы Нейман есебі

Шекті G облыстарында Нейман есебінде қосымша іздеулі u функциясының шексіздікте шекьі болуы талап етіледі. Бұл есептің n>2 өлшемді кеңістікте егер шексіздікте функция u→0 болса жалғыз шешімі болады. Екі өлшемді кеңістікте егер (*) шарт орындалса шешімі константаға дейін ғана анықталады.

Сілтемелер

• К.Нейман
• Дербес
• Лаплас