Ньютон биномы

Ньютон биномы – екі қосылғыштың (биномның) қосындысының кез келген бүтін оң дәрежесін сол қосылғыштардың дәрежелері арқылы өрнектейтін формула:

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}={n \choose 0}a^{n}+{n \choose 1}a^{n-1}b+\dots +{n \choose k}a^{n-k}b^{k}+\dots +{n \choose n}b^{n}$,

мұндағы ${n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$ — биномдық коэффициенттер, $n$ — теріс емес бүтін сан.

Екі қосылғыштың қосындысының квадраты (n=2) мен кубы (n=3) Ньютон биномының дербес жағдайы болып есептеледі: (a+b)²=a²+2ab+b²; (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³. Ньютон биномы формуласының коэффиценттері биномдық коэффициенттер деп аталады. Биномдық коэффиценттің бірнеше қасиеттері бар:

• олардың барлығы бүтін оң сандар;
• шеткі коэффиценттері 1-ге тең;
• екі шеткі мүшелерінен бірдей қашықтықта тұрған мүшелерінің коэффиценттері бірдей болады, т.б.

Ньютон биномының бүтін оң көрсеткішті биномдарға арналған формуласы Исаак Ньютонға дейін үнді және Ислам математиктеріне белгілі болған, алайда Ньютон бөлшек немесе теріс көрсеткішті биномдар үшін де жіктелудің мүмкіндігін көрсеткен (1664 – 65).

Дәлелдеу

Ньютон биномы формуласын Математикалық индукциямен n-ге қатысты дәлелдейік:

Индукция негізі: $n=0$

$(a+b)^{0}=1={\binom {0}{0}}a^{0}b^{0}$

Индукция қадамы: Формула $n$ үшін орындалсын:

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}$

Онда $n+1$ үшін келесіні дәлелдеу керек:

$(a+b)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}{{n+1} \choose k}a^{n+1-k}b^{k}$

Дәлелдеуді бастаймыз:

$(a+b)^{n+1}=(a+b)(a+b)^{n}=(a+b)\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{a^{n-k+1}b^{k}}\quad +\quad \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}$

Алғашқы қосыныдан $k=0$ болғандағы қосылғышты алайық

$\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{a^{n-k+1}b^{k}}=a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{n \choose k}a^{n-k+1}b^{k}$

Екінші қосылғыштан $k=n$ болғандағы қосылғышты алсақ

$\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}=b^{n+1}+\sum _{k=0}^{n-1}{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}=b^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{n \choose {k-1}}a^{n-k+1}b^{k}$

Шыққан екі қосындыны қоссақ:

$a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{n \choose k}a^{n-k+1}b^{k}\quad +\quad b^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{n \choose {k-1}}a^{n-k+1}b^{k}=a^{n+1}+b^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\left({n \choose k}+{n \choose {k-1}}\right)a^{n-k+1}b^{k}=$

$=\sum _{k=0}^{0}{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}\quad +\quad \sum _{k=n+1}^{n+1}{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}\quad +\quad \sum _{k=1}^{n}{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}=\sum _{k=0}^{n+1}{{n+1} \choose k}a^{n+1-k}b^{k}$

Дәлелдеу керектігі де осы.

Жалпылама

Ньютон биномы формуласы $(1+x)^{r}$ функцясының Тейлор қатарына жіктеудің жекеше түрі болып табылады:

$(1+x)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{k}$,

мұндағы r кешендік сан болуы (соның ішінде теріс не нақты сан) мүмкін. Бұл жіктелудің коэффициенттері мына формуламен өрнектеледі:

${r \choose k}={1 \over k!}\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-(k-1))}{k!}}\,$

Ал қатар

$(1+z)^{\alpha }=1+\alpha {}z+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}z^{2}+...+{\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}z^{n}+...$.

$|z|\leq 1$ болғанда жинақталады.

Соның ішінде $z={\frac {1}{m}}$ және $\alpha =x\cdot m$ болғанда

$\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{xm}=1+x+{\frac {xm(xm-1)}{2\;m^{2}}}+...+{\frac {xm(xm-1)\cdots (xm-n+1)}{n!\;m^{n}}}+\dots .$

$m\to \infty$ шегіне және екінші тамаша шеккке $\lim _{m\to \infty }{\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}}=e$ өту арқылы табатынымыз -

$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+\dots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\dots ,$

соңғыны дәл осын жолмен Эйлер тапқан.

Толық Белл полиномдары

$B_{n}(a_{s})=B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n})$ және $B_{0}=1$ болса, толық Белл полиномдары келесі биномдық жіктелуі орынды:

$B_{n}({{a_{s}}+{b_{s}}})=\sum _{i+j=n}{n \choose i,\ j}{B_{i}}({a_{s}}){B_{j}}({b_{s}}).$

Сілтемелер

• Ньютон