Тейлор қатары – функцияны көрсеткішті функциялар шексіз қосындысы ретінде жазу. Тейлор қатарының дербес қосындылары болып Тейлор көпмүшелігі саналады. Rn(x)=f(x)-Sn(x) Тейлор қатарының қалдық мүшесі, мұндағы Sn(x) – Тейлор қатарының алғашқы n+1 мүшесінің қосындысы. болғанда Тейлор қатары f(x) функциясына жинақты болады, яғни формуласы шығады. Бұл формуланы 1715 жылы ағылшын математигі Б.Тейлор (1685 – 1731) тапқан, х0=0 болған кезде Маклорен қатары шығады. Осыған сүйене отырып, негізгі элементар функциялардың Тейлор қатарына жіктелуін жазуға болады.
[ 1]
Кейбір функциялар үшін Маклорен қатарлары
өңдеу
f (x ) = 1/(1 + x 2 ) функциясының Pk Тэйлор полиномдарымен x = 0 (қызыл) және x = 1 (жасыл) орталандырылған k = 1, ..., 16 дәрежелі жіктелу аппроксимациялары. Аппроксимациялар (-1,1) және (1-√2,1+√2) сырттарында жақсармайды.
Экспонента :
e
x
=
1
+
x
1
!
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
,
x
∈
C
{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},x\in \mathbb {C} }
Натурал логарифм :
ln
(
1
+
x
)
=
x
−
x
2
2
+
x
3
3
−
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
n
+
1
n
+
1
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
x
n
n
,
{\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{n+1}}{n+1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}},}
барлық
|
x
|
<
1
{\displaystyle \left|x\right|<1}
үшін
Биномдық жіктеу :
(
1
+
x
)
α
=
∑
n
=
0
∞
(
α
n
)
x
n
,
{\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n},}
барлық
|
x
|
<
1
{\displaystyle \left|x\right|<1}
үшін және барлық
α
,
{\displaystyle ~\alpha ,}
комплекс ан үшін, мұндағы
(
α
n
)
=
∏
k
=
1
n
α
−
k
+
1
k
=
α
(
α
−
1
)
⋯
(
α
−
n
+
1
)
n
!
{\displaystyle {\alpha \choose n}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}\!}
Жекеше түрі:
1
+
x
=
1
+
x
2
−
x
2
8
+
x
3
16
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
(
1
−
2
n
)
n
!
2
4
n
x
n
,
{\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\frac {x}{2}}-{\frac {x^{2}}{8}}+{\frac {x^{3}}{16}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)n!^{2}4^{n}}}x^{n},}
барлық
|
x
|
<
1
{\displaystyle |x|<1\!}
үшін
1
1
−
x
=
1
+
x
+
x
2
+
x
3
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
n
,
{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }x^{n},}
барлық
|
x
|
<
1
{\displaystyle |x|<1}
үшін
Шекті геометриялық қатар:
1
−
x
m
+
1
1
−
x
=
∑
n
=
0
m
x
n
,
{\displaystyle {\frac {1-x^{m+1}}{1-x}}=\sum _{n=0}^{m}x^{n},}
барлық
x
≠
1
,
m
∈
N
0
{\displaystyle x\not =1,\ m\in \mathbb {N} _{0}\!}
үшін
Тригонометриялық функциялар :
sin
x
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
,
x
∈
C
{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1},x\in \mathbb {C} }
cos
x
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
x
2
n
,
x
∈
C
{\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n},x\in \mathbb {C} }
tg
x
=
x
+
x
3
3
+
2
x
5
15
+
⋯
=
∑
n
=
1
∞
B
2
n
(
−
4
)
n
(
1
−
4
n
)
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \ x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1},}
барлық
|
x
|
<
π
2
,
{\displaystyle \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}},}
үшін, мұндағы
B
2
n
{\displaystyle B_{2n}}
— Бернулли сандары
sec
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
E
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
{\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}}
барлық
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}
arcsin
x
=
x
+
x
3
6
+
3
x
5
40
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
2
n
)
!
4
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
x
2
n
+
1
{\displaystyle \arcsin x=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}}
барлық
|
x
|
<
1
{\displaystyle \left|x\right|<1}
үшін
arctg
x
=
x
−
x
3
3
+
x
5
5
−
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
2
n
+
1
x
2
n
+
1
{\displaystyle \operatorname {arctg} \ x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}}
барлық
|
x
|
<
1
{\displaystyle \left|x\right|<1}
үшін
Гиперболалық функция :
sh
(
x
)
=
x
+
x
3
3
!
+
x
5
5
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
1
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
,
x
∈
C
{\displaystyle \operatorname {sh} \,\left(x\right)=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1},x\in \mathbb {C} }
ch
(
x
)
=
1
+
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
1
(
2
n
)
!
x
2
n
,
x
∈
C
{\displaystyle \operatorname {ch} \,\left(x\right)=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n},x\in \mathbb {C} }
th
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
B
2
n
4
n
(
4
n
−
1
)
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
{\displaystyle \operatorname {th} \,\left(x\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}}
барлық
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}
үшін
arsh
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
4
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
x
2
n
+
1
{\displaystyle \operatorname {arsh} \,\left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}}
барлық
|
x
|
<
1
{\displaystyle \left|x\right|<1}
үшін
arth
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
1
2
n
+
1
x
2
n
+
1
{\displaystyle \operatorname {arth} \,\left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}}
барлық
|
x
|
<
1
{\displaystyle \left|x\right|<1}
үшін