Тейлор қатары – функцияны көрсеткішті функциялар шексіз қосындысы ретінде жазу. Тейлор қатарының дербес қосындылары болып Тейлор көпмүшелігі саналады. Rn(x)=f(x)-Sn(x) Тейлор қатарының қалдық мүшесі, мұндағы Sn(x) – Тейлор қатарының алғашқы n+1 мүшесінің қосындысы. болғанда Тейлор қатары f(x) функциясына жинақты болады, яғни формуласы шығады. Бұл формуланы 1715 жылы ағылшын математигі Б.Тейлор (1685 – 1731) тапқан, х0=0 болған кезде Маклорен қатары шығады. Осыған сүйене отырып, негізгі элементар функциялардың Тейлор қатарына жіктелуін жазуға болады. [1]

АнықтамаӨңдеу

    нүктесі төңірегінде шексіз дифференциалдана алатын функция болсын. Формальды қатар

 

  функциясының   нүктесіндегі Тейлор қатары деп аталады.

Тейлор формуласыӨңдеу

Теорема:

  •       нүктесінің белгілі төңірегінде   туындысы болсын
  • Пусть  
  • Пусть   — кез келген оң сан,

онда:   үшін   нүктесі   немесе   болғанда   :

 

Кейбір функциялар үшін Маклорен қатарларыӨңдеу

 
f(x) = 1/(1 + x2) функциясының Pk Тэйлор полиномдарымен x = 0 (қызыл) және x = 1 (жасыл) орталандырылған k = 1, ..., 16 дәрежелі жіктелу аппроксимациялары. Аппроксимациялар (-1,1) және (1-√2,1+√2) сырттарында жақсармайды.

Экспонента:

 

Натурал логарифм:

  барлық   үшін

Биномдық жіктеу:

  барлық   үшін және барлық   комплекс ан үшін, мұндағы

 

Жекеше түрі:

  барлық   үшін
  барлық   үшін
  • Шекті геометриялық қатар:
  барлық   үшін

Тригонометриялық функциялар:

 
 
  барлық

  үшін, мұндағы  Бернулли сандары

  барлық  
  барлық   үшін
  барлық   үшін

Гиперболалық функция:

 
 
  барлық   үшін
  барлық   үшін
  барлық   үшін

СілтемелерӨңдеу

  1. «Қазақстан»: Ұлттық энцклопедия / Бас редактор Ә. Нысанбаев – Алматы «Қазақ энциклопедиясы» Бас редакциясы, 1998 жыл. ISBN 5-89800-123-9, VIII том