Бернулли сандары

Бернулли сандары — дәрежелері бірдей натурал сандардың түріндегі қосындысын есептеу кезінде швейцариялық ғалым Я.Бернулли тапқан (1713) В0, В1, В2, ... рационал сандар тізбегі (мұндағы — биномдық коэффициенттер, n=0, 1,..., m=1, 2, ...). В1-ден басқа тақ нөмірлі Бернулли сандары нөлге тең, ал жұп нөмірлі Бернулли сандарының таңбасы ауысып отырады (мысалы, алғашқы Бернулли сандарының мәндері мынадай: В0=1, В1=–1/2, В2=1/6, В3=0, В4=–1/30, В5=0, В6=1/42, В7=0, В8=–1/30, В9=0). Бернулли сандарын есептеуге мүмкіндік беретін рекурренттік қатынастың түрі: В0=1, n2. Бернулли сандары математикалық анализде, сандар теориясында, жуық есептеулерде кеңінен қолданылады.[1] Бұл сандар алғашқы рет келесі қосындыны есептеу барысында пайда болды:

Рекурренттік формуласыӨңдеу

Бернулли сандарын есептеу үшін келесі рекурренттік формула бар:

 
 

ҚасиеттеріӨңдеу

  • Тақ нөмірлі Бернулли сандары,  -ден басқасы, нөлге тең, ал жұп нөмірлі Бернулли сандарының таңбалары алма кезек ауысып тұрады.
  • Бернулли сандары Бернулли көпмүшеліктерінің   коэффициенттеріне   болғанда тең болады:
 
  • Бернулли сандары Элементар функцияларды көрсеткішті қатарларға жіктегендегі коэффициенттерде кездеседі. Мысалы:
    • Бернулли сандары үшін қатарлар өндіруші функциясы:
       ,
    •  ,
    •  .
  • Эйлер Бернулли сандары мен Риман дзета-функциясы ζ(s) арасындағы байланысты s = 2k үшін тапқан:
 
Осыдан:
  барлық n үшін.
  •  

ДереккөздерӨңдеу

  1. «Қазақстан»: Ұлттық энцклопедия / Бас редактор Ә. Нысанбаев – Алматы «Қазақ энциклопедиясы» Бас редакциясы, 1998 жыл, ISBN 5-89800-123-9, II том