Сандар теориясы

Сандар теориясы — математиканың бүтін, рационал және алгебралық сандардың қасиеттерін зерттейтін саласы. Әсіресе оң натурал сандар 1, 2, 3, …, оның қасиеттері мен оларға арифметикалық амалдар қолдану Сандар теориясының зерттеу аясында ерекше орын алады.

Грекияда б.з.б. 6 ғ-да (Пифагор мектебінде) бүтін сандардың бөлінгіштігі зерттеліп, бүтін сандардың жеке түрлері (мыс., жай сандар, құрама сандар, квадрат сандар) ажыратылды, кемел сандардың құрылымы қарастырылды. Евклид “Негіздерінде” Евклид алгоритміне сүйеніп, екі бүтін санның ең үлкен ортақ бөлгішін табуға арналған жүйелі бөлінгіштік теориясы құрылды. Онда Евклид жай сандардың шексіз көп болатынын дәлелдеді. Диофант (б.з.б. 3 ғ.) “Арифметика” деген еңбегінде теңдеулердің бүтін санды шешулерін табумен айналысып, Сандар теориясын дамытуға үлкен үлес қосты. Сандар теориясының кейбір мәселелері Қытайда (2 ғ-дан бастап), Үндістанда (7 ғ-дан бастап), Шығыс араб елдерінде (9 ғ-дан бастап) қарастырылды.

Еуропада Сандар теориясының дамуы П.Ферма (1601 — 65) зерттеулерінен басталады. Ферма өзінің атақты теоремасын дәлелдеген және бұл теорема салыстыру теориясында үлкен рөл атқарған кіші теорема болды. Л.Эйлер (1707 — 83) аналитикалық Сандар теориясының негізін қаласа, К.Гаусс жүйелі салыстыру теориясын жасады. 19 ғ-дың ортасында П.Дирихле (1805 — 59) арифмет. прогрессия туралы теоремасын дәлелдеп, өзінің функционалдық қатарын енгізді. Сандар теориясының дамуына ресейлік ғалымдар П.Чебышев (1821 — 94), А.Марков (1856 — 1922), И.Виноградов (1891 — 1983), т.б. үлес қосқан. Қазақстанда Сандар теориясының дамуын арттыруда Б.Оразбаев шәкірттерімен бірге жемісті еңбек етті. Аналит. әдістерді алгебрада қолдануды қажет ететін есептерді, яғни абсолют абельдік өрістердің асимптотик. таралу заңдылығы (Оразбаев), абсолют абельдік өрістер санының натурал қатарда орналасу заңдылығы (С.Кенжебаев, А.Бөленов), Дирихленің L-қатарларының теор.-функционалдық қасиеттері (Р.Тұрғаналиев, т.б.), жазық облыстардағы бүтін нүктелер санының бағасы (С.Әбләлимов), кейбір мультипликативтік функциялардың бағасы (И.Ильясов) зерттелді. Қазақстанда, негізінен, сандардың аналитик. теориясы дамуда.

Қазіргі кезде Сандар теориясының шешілмеген мәселелері көп: жай егіз сандар мәселелері, n2+1 түріндегі жай сандардың шексіздігі, шеңбер ішіндегі және гипербола астындағы бүтін нүктелер, p+е сандарының трансценденттігі, т.б.