Көпмүшелік

Бір айнымалылы көпмүшелік, полином деп математикада келесі функцияны айтады

$F(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n}x^{n},$

мұндағы $c_{i}$ тұрақты коэффициенттер, ал $x$ — айнымалы. Көпмүшеліктер элементар функциялардың маңызды табы болып табылады.

«Классикалық алгебраның» негізгі мақсаты осындай көпмүшеліктерді және олардың теңдеулерін шешу болып табылған. Осыған байланысты математикадағы негізіг өзгерістер пайда болған: нөлді енгізу, теріс сан, ал сосын комплекс санның пайда болуы, т.б..

Анықтама

n айнымалылы көпмүшелік (немесе полином) деп келесі түрдегі шекті қосындыны айтады

$\sum _{I}c_{I}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}$,

мұндағы $I=(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})$ теріс емес бүтін сандар жиыны (мультииндекс деп аталатын), $c_{I}$ — тек мультииндекс I-ға тәуелді («көпмүшелік коэффициенті деп аталатын») сан.

Жекеше түрі, бір айнымалылы көпмүшелік келесі шекті қосынды болып табылады

$c_{0}+c_{1}x^{1}+\dots +c_{n}x^{n}.$

Көпмүшелік коэффициенттері әдетте белгілі бір коммутативті $R$ сақинасынан (көбінесе өрістен, мысалы, нақты сандар немесе комплекс сандар өрісінен) алынады. Бұл жағдайда қосу мен көбейту операцияларына қатысты көпмүшеліктер

$R[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}].$

деп белгіленетін сақина (оның үстіне $R$ сақинасында нөл бөлгіштерінсіз ассоциативті-коммутативті сақинадағы алгебраны) құрайды.

Қосымша анықтамалар

• Егер үлкен коэффициенті бірге тең болса көпмүшелік унитарлы немесе келтірілген деп аталады.
• $cx_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}$ түріндегі көпмүшеліктерді бірмүшелік немесе моном деп атайды
  • $I=(0,\dots ,\,0)$ мультииндексіне сәйкес келетін бірмүшелікті бос мүше деп атайды.
• Көпмүшелік екі нөл емес мүшесі болса оны екімүшелік немесе бином дейді,
• Көпмүшелік үш нөл емес мүшесі болса оны үшмүшелік деп атайды.
• $c_{I}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}$ (нөл емес) бірмүшеліктің толық дәрежесі деп мына бүтін санды айтады $|I|=i_{1}+i_{2}+\dots +i_{n}$.
  • Көпмүшелік дәрежесі деп оның бірмүшеліктерінің ең максималды дәрежесін айтады, нөлдің дәрежесі болмайды
• Коэффициенттері $c_{I}$ нөл болмайтындай мультииндекстер жиынын көпмүшелік игерушісі, ал оның дөңес қабығын - Ньютон көпжағы дейді.

Көбейткіштерге жіктеу

Көбейткіштерге жіктеу– көпмүшеліктерді бірнеше көбейткіштердің көбейтіндісіне теңбе-тең етіп түрлендіру. Көбейткіштерге жіктеу өрнекті жинақы түрге келтіреді. Көбейткіштерге жіктеудің негізгі тәсілдері:

1. ортақ көбейткіштерді жақшаның сыртына шығару, мысалы, 2a³b–3ab² ==ab(2a²–3b),
2. Қысқаша көбейту және бөлу формулаларын қолдану, мысалы, 4x²–4xy+y²==(2x–y)², 8a³–b³==(2a–b)(4a²+2ab+b²);
3. қосылғыштарды топтастыру, мысалы, 2ac–4ad+3bc–6bd==2a(c–2d)+3b(c–2d)==(2a+3b)(c–2d).
4. Қосылғыштарды бөлшектеу, мысалы, a²+3a+2=a²+2a+a+2= =a(a+2)+(a+2)=(a+1)(a+2).

Бір айнымалы шамаға тәуелді нақты немесе комплекс коэффициенттері бар кез келген көпмүшелік бірінші дәрежелі көбейткіштерге (комплексті коэффициенттері де болуы мүмкін) жіктеледі. Көпмүшеліктің жіктелуі былай өрнектеледі: a₀xⁿ+a₁x^n–1+...+a_n=a₀(x–a₁)(x–a₂)...(x–a_n), мұндағы a₁, a₂, ..., a_n – көпмүшеліктің түбірлері.

Тағы қараңыз

• Безу теоремасы