Формалды жүйе

Аксиомалық әдіс немесе Формалды теория — ғылыми теорияны аксиомалар деп аталатын негізгі тұжырымдар арқылы құру тәсілі. Аксиомалық әдісті пайдаланудың үлгісін Евклид (біздің заманымыздан бұрын III ғасырда) өзінің атақты “Негіздер” деп аталатын еңбегінде көрсетті. XIX ғасырдың басында орыс ғалымы Н.И.Лобачевский мен венгр математигі Я.Больяйдің (1802—60 жылдары) ашқан Евклидтік емес геометриясы аксиомалық әдістің одан әрі дамуына үлкен әсер етті. Олар Евклидтің параллельділік туралы 5-қағидасын теріске шығара отырып, таза логикалық әдіс арқылы Евклид геометриясы сияқты үйлесімді әрі мазмұнға бай жаңа геометриялық теория құруға болатындығын дәлелдеді. Бұдан кейін математикадағы аксиомалар жүйесінің қайшылықсыздығы, толықтығы және тәуелсіздігі сияқты жалпы мәселелерді зерттеу күн тәртібіне қойылды. Аксиомалық әдістің одан әрі дамуы неміс математигі Д.Гильберттің (1862—1943 жылдары) еңбектерінде ерекше орын алды. Оның ғылыми бағытында аксиомалық теорияның ұғымы, яғни формальды жүйе ұғымы нақтыланды. Мұның нәтижесінде математикалық теория дәл математикалық объектілер ретінде қарастырылып, жалпы теорияны (метатеорияны) құруға мүмкіндік жасалды. Бұл салада австрия математигі К.Гёдель (1906—78) және американ математигі П.Дж.Коэн (1934) үлкен үлес қосты. Аксиомалық тәсіл — ғылыми теорияларды дедуктивті түрде құру тәсілдерінің бірі. Мұнда:

1. белгілі бір теорияның дәлелдеусіз қабылданатын сөйлемдерінің (аксиомаларының) кейбір жиыны іріктеліп алынады;
2. бұларға енетін түсініктер осы теория шеңберінде айқын түрде анықталмайды;
3. теорияға жаңа сөз атауларын (ұғымдар) енгізуге және бірқатар сөйлемдерді басқаларынан логикалық жолмен шығарып алуға мүмкіндік беретін осы теорияның анықтама ережелері мен түйіндеп шығару ережелері белгіленеді;
4. осы теорияның барлық баска сөйлемдері (теоремалары) жоғарыда айтылғандардың негізінде бірден қорытып шығарылады.

Аксиомалық тәсіл жайындағы "алғашқы көріністер Ежелгі Грекияда (Олеатгар, Платон, Аристотель, Эвклид) пайда болды.

Аксиомалық теорияның толықтығы

Аксиомалық теорияның толықтығы - аксиомалық түрде құрылған теорияларға қолданылатын логикалық-әдістемелік талап және оның мақсаты осындай аксиомалық, формалдық системадағы сол теорияның барлық ақиқат сөйлемдерін дәлелдеу (яғни аксиомаларды түгендеу). Аксиомалық теориялардың (Аксиомалық тәсіл) синтаксистік және семантикалық айырмашылықтарына орай толықтылық талабы жіктеліп бөлінеді: синтаксистік толықтық әлсіз мағынада (кейбір жүйеге жататын барлық сөйлемдер түйінделеді не жоққа шығарылады) және күшті мағынада (аксиомаларга осы жүйеде қорытылып шығарылмайтын сөйлемді тіркегенде жүйе қайшылықта болып қалады) болып бөлінеді. Белгілі бір модельге қатысты семантикалық толықтық (осы модельдегі ақикат пікірге сәйкес келетін әрбір сөйлем сол жүйеде түйінделіп шығарылады) және т.б. мейлінше бай аксиомалық теорияларды (мысалы, арифметиканы) зерттеу барысында олардың принципті толық еместігі, басқаша айтқанда олардың шеңберінде дәлелденбейтін және жоққа шығарылмайтын сөйлемдердің кездесетіндігі дәлелденген. Толықтық талабы аксиомаландырудың жемісті болуының сөзсіз шарты болмайды: толық емес теориялардың практикалық қолданылуы табысты болуы мүмкін. Аксиомалар жүйесінің тәуелсіздігі - белгілі бір дедуктивті теорияның аксиомасын баска аксиомалардан осы теорияны uibirapv ережесі бойынша бөліп қарай алмаушылық. Мәселен, геометрия аксиомалары жүйесінде Евклидтің бесінші постулатының тәуелсіздігін тағайындау Евклидтік емес геометрияны (Аксиомалық әдісті) құруға мүмкіндік туғызды.

Аксиомалық теорияның қайшылықсыздығы

Аксиомалық теорияның қайшылықсыздығы — қайшылықсыздықтың аксиомалық түрде құрылған (жалпы және формалданған) теорияларға қойылатын логикалық-әдістемелік талабы. Аксиомалық теорияның қайшылықсыздығының екі түрі бар: синтаксистік және семантикалық. Егер теорияда кейбір сөйлемді және оның теріске шығарылуын қатарынан қорытып шығаруға болмаса, онда теория кайшьшықсыз; егер теорияның ең болмағанда бір моделі болса, яғни, осы теорияны қанағаттандыратын объектілердің кейбір облысы табылса, онда теория семантикалық қайшылықсыз. Аксиомалық теорияның қайшылықсыздығының талабы бұзылғанда теорияның кез келген сөйлемін дәлелдеп алуға болады және ол теория өзінің ғылыми құнын жояды.

Дереккөздер

Қазақ энциклопедиясы I том