Аудан (геометрия)
Aудан (геометриялық мағынада), S - геoметриялық пішіннің екі өлшемді кеңістіктен алатын бөлігін сипаттайтын шама. Aудан - геометриялық пішіндерге байланысты негізгі шамалардың бірі болып табылады. Қарапайым жағдайда аудан пішін ішіне сиятын бірлік квадраттардың санымен өлшенеді. Ауданды жобалап өлшеу үшін планиметр құралын қолданады.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/81/Area_conversion_-_square_mm_in_a_square_cm.png/300px-Area_conversion_-_square_mm_in_a_square_cm.png)
Ауданы тең пішіндерді тең шамалы пішіндер деп атайды.
Аксиомалар
өңдеу- Тең фигуралардың аудандары да тең.
- Егер фигура қандай да бір сызықпен екі басқа фигураларға бөлінсе, онда берілген фигураның ауданы осы бөліктердің аудандарының қосындысына тең.
- Қабырғасы бір өлшем бірлігіне тең квадраттың ауданы 1-ге тең.
Аудан анықтамасы
өңдеуАудан — келесі қасиеттері орындалатын функция:
- Оң, яғни аудан теріс бола алмайды;
- Аддитивті шама, яғни пішін ауданы осы пішінді құрайтын бөлшектер аудандарының қосындысына тең;
- Инварианттілік,конгруэнтті пішіндердің аудандары тең;
- Нормаланған, яғни бірлік квадраттың ауданы 1-ге тең.
Осы анықтамадан ауданның өспелілігі шығады, яғни пішін бөлігінің ауданы толық пішін ауданынан аспайды[1].
Салдары
өңдеуЖоғарыдағы аксиомалардан келесі салдар шығады:
- Егер бір фигура екінші фигураның бөлігі болса, онда бұл фигураның ауданы екінші фигураның ауданынан кем болады.
- Тең құрамды фигуралардың аудандары да тең болады.
Аудандарды есептеу
өңдеуФигура | Формула | Айнымалылар |
---|---|---|
Дұрыс үшбұрыш | — қабырғалары ұзындығы | |
Тікбұрышты үшбұрыш | мен — катеттері | |
Кез келген үшбұрыш | — қабырғасы, — сол қабырғаға түсірілген биіктік | |
мен — кез келген екі қабырғалары, — солардың араларындағы бұрыш | ||
(Герон формуласы) |
, мен — қабырғалары, — жарты периметрі | |
, , — үшбұрыш төбелері координаттары (сағат тілімен есептегенде оң сан, әйтпесе теріс болады) | ||
Квадрат | — квадрат қабырғасы ұзындығы | |
Тік төртбұрыш | мен — тік төртбұрыш қабырғалары (ұзындығы мен ені) | |
Ромб | мен — ромб диагональдары ұзындықтары | |
Параллелограмм | мен — бір қабырғасы мен оған түсірілген биіктік ұзындықтары | |
мен — сыбайлас қабырғалары мен араларындағы бұрышы | ||
Трапеция | мен — трапеция негізі, — биіктігі | |
Кез келген төртбұрыш | (Брахмагупта формуласы) |
, , , — төрбұрыш қабырғалары , — жарты периметрі, — қарама-қарсы бұрыштарының жарты қосындысы |
Дұрыс алтыбұрыш | — қабырғасы ұзындығы | |
Дұрыс сегізбұрыш | — қабырғасы ұзындығы | |
Дұрыс көпбұрыш | — периметрі, — қабырғалары саны | |
Кез келген көпбұрыш (дөңес не емес) | (трапециялар тәсілі) |
— көпбұрыш төбелерінің координаттары сағат тілі бойынша: ; егер тесігі болса бағыты сыртқы шекарасы бағытына қарсы алынады |