Виет формулалары

Виет формулалары — көпмүшенің коэффиценттерін оның түберлері арқылы өрнектеу формулалары.

Бұл формулаларды түбірлері арқылы көпмүшені табуда, көпмүше түбірлерінің дұрыстығын тексеруді колданған ыңғайлы.

Формуласы

$x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n},\,\!$

${\begin{cases}~c_{1}+c_{2}+\ldots +c_{n}=-a_{1},\\~c_{1}c_{2}+c_{1}c_{3}+\ldots +c_{1}c_{n}+c_{2}c_{3}+\ldots +c_{n-1}c_{n}=a_{2},\\~c_{1}c_{2}c_{3}+c_{1}c_{2}c_{4}+\ldots +c_{n-2}c_{n-1}c_{n}=-a_{3},\\~c_{1}c_{2}\ldots c_{n}=(-1)^{n}a_{n}\\\end{cases}}$

Дәлелдеуі

Айталық,

$x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n},\,\!$

келтірілген көпмүшесінің нақты n түбірі бар болсын: $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}$. Мұнда көпмүшенің k еселік түбірі k рет қайталанады. Онда

$(x-c_{1})(x-c_{2})\cdots (x-c_{n})$

теңдігі орындалады. Осыдан жақшаларды ашып, х-тің бірдей дәрежелерінің алдындағы коэфиценттерді салыстырсақ, онда

${\begin{matrix}a_{1}&=&-(c_{1}+c_{2}+\ldots +c_{n})\\a_{2}&=&c_{1}c_{2}+c_{1}c_{3}+\ldots +c_{1}c_{n}+c_{2}c_{3}+\ldots +c_{n-1}c_{n}\\a_{3}&=&-(c_{1}c_{2}c_{3}+c_{1}c_{2}c_{4}+\ldots +c_{n-2}c_{n-1}c_{n})\\&&\ldots \\a_{n-1}&=&(-1)^{n-1}(c_{1}c_{2}\ldots c_{n-1}+c_{1}c_{2}\ldots c_{n-2}c_{n}+\ldots +c_{2}c_{3}...c_{n})\\a_{n}&=&(-1)^{n}c_{1}c_{2}\ldots c_{n}\end{matrix}}.$

өрнегін аламыз.

Мысалдар

Квадрат теңдеу

Егер $~x_{1}$ және $~x_{2}$ — $\ ax^{2}+bx+c=0$ квадрат теңдеуінің түбірлері болса, онда формула келесі түрде болады:

${\begin{cases}~x_{1}+x_{2}=~-{\dfrac {b}{a}}\\~x_{1}x_{2}=~{\dfrac {c}{a}}\end{cases}}$

Дербес жағдайда, егер $a=1$ болса (келтірілген теңдеу $x^{2}+px+q=0$), онда формула келесі түрде болады:

${\begin{cases}~x_{1}+x_{2}=-p\\~x_{1}x_{2}=q\end{cases}}$.

Кубтық теңдеу

Егер $x_{1},x_{2},x_{3}$ — $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ кубтық теңдеуінің түберлері болса, онда формула келесі түрде болады:

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\dfrac {b}{a}}\\x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\dfrac {c}{a}}\\x_{1}x_{2}x_{3}=-{\dfrac {d}{a}}\end{cases}}$.

Тағы қараңыз

• Безу теоремасы