Кубтық теңдеу

Кубтық теңдеу — үшінші дәрежелі алгебралық теңдеу. Бұл теңдеудің жалпы түрі мынадай:

$y=(x^{3}+3x^{2}-6x-8)/4$ кубтық функциясының графигі

$8x^{3}+7x^{2}-4x+1$ теңдеудің бір нақты және екі жалған түбірі болады.

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,\;a\neq 0.$

Кубтық теңдеудің графикті анализін жүргізу үшін координаталардың декартты жүйесінде кубтық парабола қолданылады.

$x=y-{\tfrac {b}{3a}}:$ болған жағдайда кубтық теңдеудің жалпы түрі каноникалық түрге келеді:

$y^{3}+py+q=0,\,$

мұнда

$q={\frac {2b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {d}{a}}={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}},$

$p={\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}.$

Теңдеудің түбірлері

Дискриминант бойынша

Алгебраның негізгі теоремасына сүйенсек, кубтық теңдеудің әрқашанда 3 түбірі болуы тиіс.

Әр нақты тақ дәрежелі көпмүше бір ғана болсада нақты түбірі болуы қажет. Кубтық теңдеудің барлық түбірлерінің құрамын келесі үш жағдай көрсетеді. Бұл жағдайлар дискриминант арқылы оңай ажыратылады.

$\Delta =-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4ac^{3}+18abcd-27a^{2}d^{2}.$

• Егер Δ > 0 болса, онда теңдеудің үш әр түрлі түбірі болады.
• Егер Δ < 0 болса, онда теңдеудің бір нақты және екі комплексті түйіндес түбірі болады.
• Егер Δ = 0 болса, онда теңдеудің екі түбірі болсын сәйкес келеді.

Виет теоремасы бойынша

Виет теоремасы бойынша $x_{1},\,x_{2},\,x_{3}$ кубтық теңдеудің түбірлері $a,\,b,\,c,\,d$ коэффициенттерімен келесі арақатынаста болады:

$x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}},$

$x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}={\frac {c}{a}},$

$x_{1}\,x_{2}\,x_{3}=-{\frac {d}{a}}.$

Көрсетілген тепе-теңдіктерді бір-біріне бөлідің нәтижесінде тағыда басқа арақатынастар табуға болады:

${\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+{\frac {1}{x_{3}}}=-{\frac {c}{d}},\quad d\neq 0,$

${\frac {1}{x_{1}x_{2}}}+{\frac {1}{x_{2}x_{3}}}+{\frac {1}{x_{1}x_{3}}}={\frac {b}{d}},\quad d\neq 0.$

Шешу әдістері

• Кардано формуласы
• Безу теоремасы

Әдебиет

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике — Бас. 7-ші, стереотипті. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — Б. 139.  (орыс.)

Сыртқы сілтемелер

Ортаққорда бұған қатысты медиа санаты бар: Cubic polynomials

• Кубтық теңдеудің онлайн шешімдері Мұрағатталған 22 қаңтардың 2010 жылы.
• Кубтық теңдеудің онлайн шешімдері