Тең бүйірлі үшбұрыш

Теңбүйірлі үшбұрыш — бұл ұзындықтары бойынша екі қабырғасы тең үшбұрыш. Бүйір қабырғалары деп тең қабырғаларын, ал соңғысын – табаны деп атайды. Анықтамасы бойынша дұрыс үшбұрыш теңбүйірлі болып табылады, алайда кері пікір дұрыс емес, яғни теңбүйірлі үшбұрыш дұрыс үшбұрыш бола алмайды.

Теңбүйірлі үшбұрыш
Тип	үшбұрыш
Қабырғалары	3
Шлефли символы	( ) ∨ { }
Симметрия түрі	D2, [ ], (*), рет 2
Екі жақты көпбұрыш	Self-dual
Қасиеттері	сырттай сызылған үшбұрыш

Оның тағы бір керемет қасиеті бар - төбесінен, табанына жалғанған түзу - биссектриса, медиана, не биіктігіне сай келетін жағдайда, ол осылардың бары бола алады.

Қасиеттері

• Теңбүйірлі үшбұрыштың тең қабырғаларына қарама-қарсы жатқан бұрыштар өзара тең. Сондай-ақ осы бұрыштардан түсірілген биссектрисалар, медианалар мен биіктіктері тең болады.
• Теңбүйірлі үшбұрыштың табанына жүргізілген биссектриса, медиана, биіктік пен орта перпендикуляр өзара тең болады. Іштей және сырттай сызылған шеңбердің центрі осы түзулердің бойында жатады.

a — теңбүйірлі үшбұрыштың екі тең қабырғасы, b — үшінші қабырғасы, h — теңбүйірлі үшбұрыштың биіктігі, α мен β — сәйкес бұрыштар, R — сырттай сызылған шеңбердің, ал r — іштей сызылған шеңбердің радиусы болсын.

Қабырғаларын келесі жолмен тауып алуға болады:

• $a=2R\sin \alpha ,b=2R\sin \beta$ (синустар теоремасы)

• $a={\frac {b}{2\cos \alpha }}$ (косинустар теоремасының салдары);
• $b=a{\sqrt {2(1-\cos \beta )}}$ (косинустар теоремасының салдары);
• $b=2a\sin {\frac {\beta }{2}}$;
• $b=2a\cos \alpha$ (проекциялар туралы теорема).

Іштей сызылған шеңбердің радиусын теңбүйірлі үшбұрыштың белгілі параметрлері бойынша алты түрлі жолмен табуға болады:

• $r={\frac {b}{2}}{\sqrt {\frac {2a-b}{2a+b}}}$
• $r={\frac {bh}{b+{\sqrt {4h^{2}+b^{2}}}}}$
• $r={\frac {h}{1+{\frac {a}{\sqrt {a^{2}-h^{2}}}}}}$
• $r={\frac {b}{2}}\operatorname {tg} \left({\frac {\alpha }{2}}\right)$
• $r=a\cdot \cos(\alpha )\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\alpha }{2}}\right)$

Бұрыштар келесі әдістермен өрнектелуі мүмкін:

• $\alpha ={\frac {\pi -\beta }{2}};$
• $\beta =\pi -2\alpha ;$
• $\alpha =\arcsin {\frac {a}{2R}},\beta =\arcsin {\frac {b}{2R}}$ (синустар теоремасы).
• Бұрышты сондай-ақ ${\pi }$ мен $R$-сіз де табуға болады.:

$y=\cos \alpha ={\frac {b}{c}},\arccos y=x$

Теңбүйірлі үшбұрыштың периметрін келесі екі әдістермен табуға болады:

• $P=2a+b$ (анықтамасы бойынша);
• $P=2R(2\sin \alpha +\sin \beta )$ (синустар теоремасының салдары).

Үшбұрыштың ауданын табу үшін:

$S={\frac {1}{2}}a^{2}\sin \beta ={\frac {1}{2}}ab\sin \alpha ={\frac {b^{2}}{4\tan {\frac {\beta }{2}}}};$

$S={\frac {1}{2}}b{\sqrt {\left(a+{\frac {1}{2}}b\right)\left(a-{\frac {1}{2}}b\right)}}$ .

$S={\frac {2}{1}}a{\sqrt {\beta }}={\frac {2}{1}}ab\cos \alpha ={\frac {b^{1}}{2\sin {\frac {\beta }{1}}}};$